Question

12．如圖：已知?ABCD中，以AB為斜邊在?ABCD內(nèi)作等腰直角△ABE，且AE=AD，連接DE，過E作EF⊥DE交AB于F交DC于G，且∠AEF=15°
（1）若EF=$\sqrt{3}$，求AB的長．
（2）求證：2GE+EF=AB．

Answer 1

分析 （1）作EH⊥AB，交AB于H，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠EAB=∠EBA=45°，EA=EB，于是得到EH=HB=AH=$\frac{1}{2}$AB，于是得到∠EFH=∠EAB+∠AEF=60°，求得∠FEH=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；             
（2）連接EC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠DEA=∠EDA=75°，于是得到∠EAD=30°，求出∠DAB=∠DCB=75°，∠CBA=∠CDA=105°，由于∠ABE=45°，得到∠CBE=60°，推出△BCE是等邊三角形，求出∠DCE=15°，CE=BE=AE，推出DG=2GE，證得△AEF≌△ECG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到GC=FE，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）作EH⊥AB，交AB于H，
∵△ABE是等腰直角三角形，
∴∠EAB=∠EBA=45°，EA=EB，
∴EH=HB=AH=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠EFH=∠EAB+∠AEF=60°，
∴∠FEH=30°，
∴FH=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$EH=$\frac{3}{2}$，
∴AB=3，

（2）連接EC，
∵∠AEF=15°，EF⊥DE，AE=AD，
∴∠DEA=∠EDA=75°，
∴∠EAD=30°，
∵∠BAE=45°，
∴∠DAB=∠DCB=75°，∠CBA=∠CDA=105°，
∵∠ABE=45°，
∴∠CBE=60°，
∵AD=BE=BC，
∴△BCE是等邊三角形，
∴∠DCE=15°，CE=BE=AE，
∵∠GED=90°，∠GDE=30°，∠DGE=60°，
∴DG=2GE，
∵∠EGC=105°=∠AFE，CE=EF，∠DCE=15°=∠AEF，
在△AEF與△ECG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EGC=∠AFE}\\{CE=EF}\\{∠DCE=∠AEF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△ECG，
∴GC=FE，
∴AB=DC=DG+GC=2GE+CG=2GE+EF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．