Question

已知△ABD和△CBD關(guān)于直線BD對稱(點A的對稱點是點C)，點E、F分別是線段BC和線段BD上的點，且點F在線段EC的垂直平分線上，聯(lián)結(jié)AF、AE，交BD于點G．

（1）如圖（1），求證：∠EAF=∠ABD；

圖（1）

（2）如圖（2），當(dāng)AB=AD時，M是線段AG上一點，聯(lián)結(jié)BM、ED、MF，MF的延長線交ED于點N，∠MBF=∠BAF，AF=AD，試探究線段FM和FN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

圖（2）

 

Answer 1

【答案】

(1)見解析；（2）FM=FN．

【解析】

試題分析：（1）如圖1，連接FE、FC，構(gòu)建全等三角形△ABF≌△CBF（SAS），則易證∠BAF=∠2，F(xiàn)A=FC；根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)、等量代換可知FE=FA，∠1=∠BAF，則∠5=∠6．然后由四邊形內(nèi)角和是360°、三角形內(nèi)角和定理求得∠5+∠6=∠3+∠4，則∠5=∠4，即∠EAF=∠ABD；

（2）FM=FN．理由如下：由△AFG∽△BFA，易得∠AGF=∠BAF，所以結(jié)合已知條件和圖形得到∠MBG=∠BMG．易證△AGF∽△DGA，則對應(yīng)邊成比例：．即．設(shè)GF=2a（a＞0），AG=3a，則GD=a，F(xiàn)D=a；利用平行線（BE∥AD）截線段成比例易得，則．設(shè)EG=2k（k＞0），所以BG=MG=3k．如圖2，過點F作FQ∥ED交AE于點Q．則又由FQ∥ED，易證得，所以FM=FN．

試題解析：

證明：如圖1  連接FE、FC

 

∵點F在線段EC的垂直平分線上,

∴FE=FC    ∴∠l=∠2

∵△ABD和△CBD關(guān)于直線BD對稱．

∴AB=CB,∠4=∠3，又BF=BF

∴△ABF≌△CBF，∴∠BAF=∠2，F(xiàn)A=FC

∴FE=FA，∠1=∠BAF．

∴∠5=∠6，

∵∠l+∠BEF=180º，∴∠BAF+∠BEF=180º

∵∠BAF+∠BEF+∠AFE+∠ABE=360º

∴∠AFE+∠ABE=180º

又∵∠AFE+∠5+∠6=180º，

∴∠5+∠6=∠3+∠4

∴∠5=∠4，即∠EAF=∠ABD

解：FM=FN

證明：如圖2，

由(1)可知∠EAF=∠ABD，

又∵∠AFB=∠GFA  ∴△AFG∽△BFA

∴∠AGF=∠BAF

又∵∠MBF=∠BAF，∴∠MBF=∠AGF

又∵∠AGF=∠MBG+∠BMG∴∠MBG=∠BMG

∴BG=MG

∵AB=AD  ∴∠ADB=∠ABD=∠EAF

又∵∠FGA=∠AGD．∴△AGF∽△DGA．

∴

∵AF=AD

∴

設(shè)GF=2a，則AG=3a，

∴GD=a，∴FD=DG-GF==a

∵∠CBD=∠ABD，∠ABD=∠ADB，∴∠CBD=∠ADB.

∴．∴，

設(shè)EG=2k，則MG=BG=3k

過點F作FQ∥ED交AE于Q，

∴．∴,∴GQ=EG=

∴QE=    ∴MQ=MG+GQ=3k+=

∵FQ∥ED，

∴.

∴FM=FN.

考點：相似形綜合題．