Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，且OA＝2，OC＝1，矩形對(duì)角線AC、OB相交于E，過(guò)點(diǎn)E的直線與邊OA、BC分別相交于點(diǎn)G、H．
(1)①直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)：               ；②求證：AG＝CH．
(2)如圖2，以O(shè)為圓心，OC為半徑的圓弧交OA與D，若直線GH與弧CD所在的圓相切于矩形內(nèi)一點(diǎn)F，求直線GH的函數(shù)關(guān)系式．
(3)在(2)的結(jié)論下，梯形ABHG的內(nèi)部有一點(diǎn)P，當(dāng)⊙P與HG、GA、AB都相切時(shí)，求⊙P的半徑．

Answer 1

(1)①解：E的坐標(biāo)是：(1，)，
故答案為：(1，)；
②證明：∵矩形OABC，
∴CE＝AE，BC∥OA，
∴∠HCE＝∠EAG，
∵在△CHE和△AGE中，
∴△CHE≌△AGE，
∴AG＝CH;
(2)解：連接DE并延長(zhǎng)DE交CB于M，

∵DD＝OC＝1＝OA，

∴D是OA的中點(diǎn)，
∵在△CME和△ADE中，
∴△CME≌△ADE，
∴CM＝AD＝2－1＝1，
∵BC∥OA，∠COD＝90°，
∴四邊形CMDO是矩形，
∴MD⊥OD，MD⊥CB，
∴MD切⊙O于D，
∵得HG切⊙O于F，E(1，)，
∴可設(shè)CH＝HF＝x，FE＝ED＝＝ME，
在Rt△MHE中，有MH²＋ME²＝HE²
即(1－x)²＋()²＝(＋x)²，
解得x＝，
∴H(，1)，OG＝2－＝，
又∵G(，0)，
設(shè)直線GH的解析式是：y＝kx＋b，
把G、H的坐標(biāo)代入得：0＝b，且1＝k＋b，
解得：k＝－，b＝，
∴直線GH的函數(shù)關(guān)系式為y＝－；
(3)解：連接BG，
∵在△OCH和△BAG中，
∴△OCH≌△BAG，
∴∠CHO＝∠AGB，
∵∠HCO＝90°，
∴HC切⊙O于C，HG切⊙O于F，
∴OH平分∠CHF，
∴∠CHO＝∠FHO＝∠BGA，
∵△CHE≌△AGE，
∴HE＝GE，
在△HOE和△GBE中，
∴△HOE≌△GBE，
∴∠OHE＝∠BGE，
∵∠CHO＝∠FHO＝∠BGA，
∴∠BGA＝∠BGE，即BG平分∠FGA，
∵⊙P與HG、GA、AB都相切，
∴圓心P必在BG上，過(guò)P做PN⊥GA，垂足為N，
∴△GPN∽△GBA，
∴，
設(shè)半徑為r，＝，
解得：r＝，
答：⊙P的半徑是．