Question

在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸交于點(-1,0)、(3,0)，與軸的正半軸交于點，頂點為.

1.求拋物線解析式及頂點的坐標；

2.如圖，過點E作BC平行線，交軸于點F，在不添加線和字母情況下，圖中面積相等的三角形有：              ．

3.將拋物線向下平移，與軸交于點M、N，與軸的正半軸交于點P，頂點為Q.在四邊形MNQP中滿足S_△NPQ = S_△MNP，求此時直線PN的解析式

 

Answer 1

【答案】

 

1.將(-1,0)、(3,0)代入的得到，，

∴拋物線的解析式為，即.

∴ 拋物線頂點的坐標為（1，4）．-------------------------3分

2.△BCF與△BCE               -------------------------1分

3.將拋物線向下平移，則頂點Q在對稱軸上，有，------1分

∴ 拋物線的解析式為（）．

∴ 此時，拋物線與軸的交點為，頂點為．

∵ 方程的兩個根為，，

∴ 此時，拋物線與軸的交點為，．

如圖，過點Q作QG∥PN與軸交于點G，連接NG，則S_△PNG= S_△PNQ．

∵ S_△NPQ = S_△MNP,

∴S_△MNP = S_△PNG．               -------------------------1分

∴ ．

設(shè)對稱軸與軸交于點，

則．

由QG∥PN，得．

∴ Rt△QDG ∽ Rt△PON．有．

∴ ．結(jié)合題意，解得 ．

∴ 點，．

設(shè)直線PN的解析式為y=mx+n，將P， N兩點代入，得到

直線PN的解析式為 ； --------3分

【解析】（1）把A、B兩點的坐標代入到拋物線方程中，求出它的解析式；

（2）   利用同底等高的兩個三角形面積相等這個性質(zhì)；

過Q點作QG∥PN與X軸交于點G，連接NG,利用等量代換推出S_△MNP = S_△PNG．得出DG的長，利用Rt△QDG ∽ Rt△PON求出P、N兩點的坐標，根據(jù)兩點式求出直線PN的解析式。