Question

如圖①，P是△ABC邊AC上的動點，以P為頂點作矩形PDEF，頂點D，E在邊BC上，頂點F在邊AB上；△ABC的底邊BC及BC上的高的長分別為a ， h，且是關(guān)于x的一元二次方程mx²+nx+k=0的兩個實數(shù)根，設(shè)過D，E，F(xiàn)三點的⊙O的面積為S_⊙O，矩形PDEF的面積為S_矩形PDEF。
（1）求證：以a+h為邊長的正方形面積與以a、h為邊長的矩形面積之比不小于4；
（2）求的最小值；
（3）當的值最小時，過點A作BC的平行線交直線BP與Q，這時線段AQ的長與m，n ，k的取值是否有關(guān)？請說明理由。

Answer 1

解：（1）據(jù)題意，∵a+h=， ∴所求正方形與矩形的面積之比：， ∵ ∴ 由知m，k同號， ∴mk>0 ∴ 即正方形與矩形的面積之比不小于4；
（2）∵∠FED=90°， ∴DF為⊙O的直徑， ∴⊙O的面積為：， 矩形PDEF的面積：， ∴面積之比：， 設(shè)， ， ∵ ∴ ∴ 即時（EF=DE），的最小值為；
（3）當的值最小時，這時矩形PDEF的四邊相等為正方形， 過B點過BM⊥AQ，M為垂足，BM交直線PF于N點，設(shè)FP=e， ∵BN∥FE，NF∥BE， ∴BN=EF， ∴BN =FP=e， 由BC∥MQ，得：BM=AG=h， ∵AQ∥BC，PF∥BC， ∴AQ∥FP， ∴△FBP∽△ABQ， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴線段AQ的長與m，n，k的取值有關(guān)。