Question

20．如圖，在△ABC中，以AC為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)G，且D是BC中點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為E，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：直線EF是⊙O的切線；
（2）若CF=3，cosA=$\frac{2}{5}$，求出⊙O的半徑和BE的長(zhǎng)；
（3）連接CG，在（2）的條件下，求$\frac{CG}{EF}$的值．

Answer 1

分析 （1）首先連接OD，由D是BC中點(diǎn)，OC=OA，易得OD是△ABC的中位線，可得OD∥AB，又由DE⊥AB，可得DE⊥OD，即可證得直線EF是⊙O的切線；
（2）由OD∥AB，易得∠COD=∠A，又由CF=3，cosA=$\frac{2}{5}$，設(shè)⊙O的半徑為R，可得$\frac{R}{R+3}$=$\frac{2}{5}$，則可求得⊙O的半徑，則可求得AB的長(zhǎng)，繼而求得答案；
（3）首先連接CG，易證得CG∥EF，然后由平行線分線段成比例定理，求得答案．

解答 （1）證明：如圖，連結(jié)OD．
∵CD=DB，CO=OA，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥OD，即OD⊥EF，
∴直線EF是⊙O的切線；

（2）解：∵OD∥AB，
∴∠COD=∠A．
在Rt△DOF中，
∵∠ODF=90°，
∴cos∠FOD=$\frac{OD}{OF}$=$\frac{2}{5}$，
設(shè)⊙O的半徑為R，則$\frac{R}{R+3}$=$\frac{2}{5}$，
解得R=2，
∴AB=2OD=4．
在Rt△AEF中，∵∠AEF=90°，
∴cos∠A=$\frac{AE}{AF}$=$\frac{AE}{4+3}$=$\frac{2}{5}$，
∴AE=$\frac{14}{5}$，
∴BE=AB-AE=4-$\frac{14}{5}$=$\frac{6}{5}$；

（3）解：連接CG，則∠AGC=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠AEF=90°，
∴CG∥EF，
∴$\frac{CG}{EF}$=$\frac{AC}{AF}$=$\frac{2R}{2R+CF}$=$\frac{2×2}{2×2+3}$=$\frac{4}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于圓的綜合題．考查了切線的判定與性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理以及三角函數(shù)等知識(shí)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．