Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A，B分別在x，y軸正半軸上，以OB為直徑的⊙C交AB于點D，DE切⊙C于點D，交x軸于點E，且OA=12

3

cm，∠OAB=30°．
（1）求直線AB的解析式；
（2）求EA的長度；
（3）若線段EA在x軸上運動，△CEA的周長是否存在最小值？若存在，分別求出點E、A的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）在Rt△AOB中，由勾股定理得OB=12，AB=24，從而求得點B的坐標，然后利用待定系數(shù)法求得直線AB的解析式即可；
（2）連接OD，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得線段EA的長即可；
（3）過E作EH∥AC，且EH=AC，作H關于x軸的對稱點S，連SC，交x軸于E'，求得直線SC的解析式即可求得點E和點A的坐標．

解答：解：（1）∵OA⊥OB，∠OAB=30°，OA=12

3

，得AB=2OB，
∴點A的坐標為：（12

3

，0），
在Rt△AOB中，由勾股定理得OB=12，AB=24．
∴B（0，12），
設直線AB的解析式為y=kx+b，
則

12 3 x+b=0 b=12

解得：

k=- 3 3 b=12

故直線AB的解析式為y=-

3

3

x+12．

（2）連接OD，則∠ODB=∠ODA=90°
則∠ODE+∠DOE=90°∠DOA+∠OAD=90°       
∵EO、ED為⊙C的切線
∴EO=ED，
∴∠ODE=∠DOE，
∴∠EDA=∠DAE
∴ED=EA
∴E為OA的中點，
∴EA=

1

2

OA=6

3

；

（3）過E作EH∥AC，且EH=AC，作H關于x軸的對稱點S，連SC，交x軸于E'，
則H（-6

3

，6）、S（-6

3

，-6），
∵四邊形HCAE為平行四邊形，
∴AC=HE=SE，
要使△CEA的周長最小，則要求CE+CA最小，即CE+SE最小，
∴C、E、S三點共線，即點E'為所求的E點，
SC的解析式為：y=

2

3

3

x+6，
∴E（-3

3

，0）、A（3

3

，0）．

點評：本題考查了圓的綜合知識，在中考中將圓與函數(shù)的知識結合在一起考查是中考的熱點考題之一，難度較大．