Question

如圖，已知正方形ABCD中，E為對(duì)角線(xiàn)BD上一點(diǎn)，過(guò)E點(diǎn)作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點(diǎn)，連接EG，CG．

（1）求證：EG=CG；

（2）將圖①中△BEF繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，如圖②所示，取DF中點(diǎn)G，連接EG，CG．問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）將圖①中△BEF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖③所示，再連接相應(yīng)的線(xiàn)段，問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？通過(guò)觀(guān)察你還能得出什么結(jié)論？（均不要求證明）

 

Answer 1

解：（1）證明：在Rt△FCD中，

∵G為DF的中點(diǎn)，∴ CG=FD．同理，在Rt△DEF中，EG=FD． 

∴ CG=EG．                                                    

（2）（1）中結(jié)論仍然成立，即EG=CG．                        

證法一：連接AG，過(guò)G點(diǎn)作MN⊥AD于M，與EF的延長(zhǎng)線(xiàn)交于N點(diǎn)．

在△DAG與△DCG中，

∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，

∴ △DAG≌△DCG．

∴ AG=CG．

在△DMG與△FNG中，

∵ ∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，

∴ △DMG≌△FNG．

∴ MG=NG

在矩形AENM中，AM=EN．

在Rt△AMG 與Rt△ENG中，

∵ AM=EN， MG=NG，

∴ △AMG≌△ENG．

∴ AG=EG．

∴ EG=CG．

證法二：延長(zhǎng)CG至M,使MG=CG，

連接MF，ME，EC，

在△DCG 與△FMG中，

∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，

∴△DCG ≌△FMG．

∴MF=CD，∠FMG＝∠DCG．  

∴MF∥CD∥AB．、

∴．

在Rt△MFE 與Rt△CBE中，

∵ MF=CB，EF=BE，

∴△MFE ≌△CBE．

∴．

 ∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°．

∴ △MEC為直角三角形．

∵ MG = CG，

∴ EG=MC．

∴ ．                                                       

（3）（1）中的結(jié)論仍然成立，

即EG=CG．其他的結(jié)論還有:EG⊥CG．