Question

18．某企業(yè)接到一批月餅生產任務，按要求在15天內完成，約定這批月餅的出廠價為每塊6元，為按時完成任務，該企業(yè)招收了新工人．設新工人王紅第x天生產的月餅數(shù)量為y塊，y與x滿足下列關系式：y=$\left\{\begin{array}{l}{54x（0≤x≤5）}\\{30x+120（5≤x≤15）}\end{array}\right.$．
（1）如圖，設第x天每塊月餅的成本是P元，P與x之間的關系可用圖中的函數(shù)圖象來刻畫，若王紅第x天創(chuàng)造的利潤為W元，求W與x之間的函數(shù)表達式；
（2）王紅第幾天會獲得756元的利潤且保證成本較低？

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)圖象利用待定系數(shù)法求得0≤x＜9和9≤x≤15時每塊月餅的成本是P與x的函數(shù)解析式，再分0≤x≤5、5＜x≤9、9＜x≤15三種情況根據(jù)總利潤=每塊月餅的利潤×銷售量可得答案；
（2）在0≤x≤5和5＜x≤9時根據(jù)一次函數(shù)的性質可得最大值均小于756，繼而可求得9＜x≤15時利潤為756元的x的值，再結合成本較低確定x的值，代入P=30x+120可得答案．

解答 解：（1）由圖象得，當0≤x＜9時，p=4.1；
當9≤x≤15時，設P=kx+b，
把點（9，4.1），（15，4.7）代入得，
$\left\{\begin{array}{l}{9k+b=4.1}\\{15k+b=4.7}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=0.1}\\{b=3.2}\end{array}\right.$，
∴P=0.1x+3.2，
①0≤x≤5時，w=（6-4.1）×54x=102.6x；
②5＜x≤9時，w=（6-4.1）×（30x+120）=57x+228，
③9＜x≤15時，w=（6-0.1x-3.2）×（30x+120）=-3x²+72x+336；

（2）當0≤x≤5時，w=102.6x中，當x=5時，w_最大=513＜756；
當5＜x≤9時，w=57x+228，
∵x是整數(shù)，
∴當x=9時，w_最大=741＜756；
當9＜x≤15時，由-3x²+72x+336=756解得x₁=10，x₂=14，
當x=10時，P=30x+120=420，
當x=14時，P=30x+120=540，
∴第10天會獲得756元的利潤且保證成本較低．

點評 本題考查的是二次函數(shù)在實際生活中的應用，主要是利用二次函數(shù)的增減性求最值問題，利用一次函數(shù)的增減性求最值，難點在于讀懂題目信息，列出相關的函數(shù)關系式．