Question

18．如圖，已知拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c圖象經(jīng)過A（-1，0），B（4，0）兩點．
（1）求b，c的值；
（2）若C（m，1-m）是拋物線上位于第四象限內(nèi)的點，D是線段AB上 的一個動點（不與A，B點重合），過點D分別作DE∥BC交AC于E，DF∥AC交BC于F．
①求證：四邊形DECF是矩形；
②連接EF，則線段EF的最小值為2．

Answer 1

分析 （1）因為拋物線與x軸交于（-1，0）（4，0），可以假設(shè)y=a（x+1）（x-4），由題意a=-$\frac{1}{2}$代入整理即可求出b、c．
（2）①利用待定系數(shù)法思想求出點C坐標，利用勾股定理的逆定理證明∠ACB=90°，由此即可解決問題．
②由四邊形BECF是矩形，推出EF=CD，要求EF的最小值，即求CD的最小值，CD⊥AB時，CD最小，由此即可解決問題．

解答 （1）解：因為拋物線與x軸交于（-1，0）（4，0），可以假設(shè)y=a（x+1）（x-4）
∵a=$\frac{1}{2}$，
∴y=$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2
∴b=-$\frac{3}{2}$，c=-2．
（2）①證明：把C（m，1-m）代入y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2得1-m=$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m-2，
∴m₁=-2     m₂=3，
∵C在第四象限，
∴m=3，
∴c（3，-2），
∵BC∥DE   DF∥AC，
∴四邊形DECF是平行四邊形，
∵AB²=25   AC²=20   BC²=5
∴AB²=AC²+BC²，
∴∠ACB=90°，
∴四邊形BECF是矩形．

②解：∵四邊形BECF是矩形，
∴EF=CD，
要求EF的最小值，即求CD的最小值，
當CD⊥AB時，CD最小，
此時∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$•AC•BC=$\frac{1}{2}$•AB•CD，
∴CD=$\frac{AC•CB}{AB}$=$\frac{2\sqrt{5}•\sqrt{5}}{5}$=2．
故答案為2

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、平行四邊形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理的逆定理、垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會利用垂線段最短解決最值問題，屬于中考壓軸題．