Question

（本小題滿分12分） 如圖① 已知拋物線（≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B （－3，0），與y軸交于點C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設拋物線的對稱軸與x軸交于點N ，問在對稱軸上是否存在點P，使△CNP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）如圖②，若點E為第三象限拋物線上一動點，連接BE、CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時E點的坐標.

 

Answer 1

（1） ； （2）存在， P（-1，），P（-1，- ），P（-1，-6），P（-1，-）；（3），E(，)．

【解析】

試題分析：（1）由拋物線（a≠0）點A（1，0）和點B （﹣3，0），由待定系數(shù)法就可以直接求出a、b的值而求出拋物線的解析式；

（2）由（1）的解析式就可以求出C點的坐標，求出OC的值，在Rt△CON中由勾股定理就可以求出CN的值，CP1=NP1時，作P1H⊥CN于H，由三角形相似就可以求出P1N的值，從而求出P1的坐標；

（3）設出點E的坐標，連接BE、CE，作EG⊥OB于點G，就可以表示EG、BG、OG的值就可以表示出四邊形BOCE的面積，然后化為頂點式就可以求出其面積的最大值．

試題解析：（1）如圖①，

∵（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B （﹣3，0），

∴，解得：，∴；

（2）∵，∴，∴N（﹣1，0），∴ON=1．

∴當x=0時，y=﹣3，∴C（0，﹣3），∴OC=3．

在Rt△CON中，由勾股定理，得：CN=，

當P1N=P1C時，△P1NC是等腰三角形，作P1H⊥CN，

∴NH=，△P1HN∽△NOC，∴，∴，∴NP1=，∴P1（﹣1，），

當P4N=CN時，P4N=，∴P4（﹣1，），

當P2N=CN時，P2N=，∴P2（﹣1，﹣），

當P3C=CN時，P3N=6，∴P3（﹣1，﹣6）

∴P點的坐標為：（﹣1，）、（﹣1，﹣）、（﹣1，﹣6）和（﹣1，）；

（3）設E（， ），連接BE、CE，作EG⊥OB于點G，

∴GO=﹣x，BG=x+3，GE=，

∴S=，

∴x=，S最大值=，

當x=時，，

∴E(，)．

考點：1．二次函數(shù)綜合題；2．等腰三角形的性質(zhì)．