Question

【題目】如圖1，對(duì)于平面上小于等于90°的∠MON，我們給出如下定義：若點(diǎn)P在∠MON的內(nèi)部或邊上，作PE⊥OM于點(diǎn)E，PF⊥ON于點(diǎn)F，則將PE+PF稱為點(diǎn)P與∠MON的“點(diǎn)角距”，記作d（∠MON，P）．如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，x、y正半軸所組成的角為∠xOy．

（1）已知點(diǎn)A（5，0）、點(diǎn)B（3，2），則d（∠xOy，A）= ，d（∠xOy，B）= ．

（2）若點(diǎn)P為∠xOy內(nèi)部或邊上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足d（∠xOy，P）=5，畫出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)所形成的圖形．

（3）如圖3與圖4，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，射線OT的函數(shù)關(guān)系式為y=x（x≥0）．

①在圖3中，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，1），試求d（∠xOT，C）的值；

②在圖4中，拋物線y=-x2+2x+經(jīng)過(guò)A（5，0）與點(diǎn)D（3，4）兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是A，D兩點(diǎn)之間的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)Q可與A，D兩點(diǎn)重合），求當(dāng)d（∠xOT，Q）取最大值時(shí)點(diǎn)Q 的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）5，5；（2）點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)所形成的圖形是線段y=5-x（0≤x≤5）．（3）；點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4，）．

【解析】

試題分析：（1）首先根據(jù)點(diǎn)A（5，0）到x軸的距離是0，到y(tǒng)軸的距離是5，可得d（∠xOy，A）=0+5=5；然后根據(jù)點(diǎn)B（3，2）到x軸的距離是2，到y(tǒng)軸的距離是3，求出d（∠xOy，B）的值是多少即可．

（2）首先設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x，y），然后根據(jù)d（∠xOy，P）=5，可得x+y=5，據(jù)此求出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)所形成的圖形即可．

（3）①首先作CE⊥OT于點(diǎn)E，CF⊥x軸于點(diǎn)F，延長(zhǎng)FC交OT于點(diǎn)H，則CF=1，然后設(shè)直線OT對(duì)應(yīng)的函

數(shù)關(guān)系式為y=x（x≥0），求出點(diǎn)H的坐標(biāo)為H（4，），進(jìn)而求出CH，OH的值各是多少；最后根據(jù)相似三角形判定的方法，判斷出△HEC∽△HFO，即可判斷出，據(jù)此求出EC的值，即可求出d（∠xOT，C）的值是多少．

②首先作QG⊥OT于點(diǎn)G，QH⊥x軸于點(diǎn)H，交OT于點(diǎn)K，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，n），其中3≤m≤5，則n

=-m2+2m+，然后判斷出點(diǎn)K的坐標(biāo)，以及HK，OK的大小，再判斷出Rt△QGK∽Rt△OHK，即可判斷出，據(jù)此求出QG=；最后求出d（∠xOT，Q）的值，根據(jù)二次函數(shù)最值的求法，求出當(dāng)d（∠xOT，Q）取最大值時(shí)點(diǎn)Q 的坐標(biāo)即可．

試題解析：（1）∵點(diǎn)A（5，0）到x軸的距離是0，到y(tǒng)軸的距離是5，

∴d（∠xOy，A）=0+5=5，

∵點(diǎn)B（3，2）到x軸的距離是2，到y(tǒng)軸的距離是3，

∴d（∠xOy，B）=2+3=5．

綜上，可得d（∠xOy，A）=5，d（∠xOy，B）=5．

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x，y），

∵d（∠xOy，P）=5，

∴x+y=5，

∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)所形成的圖形是線段y=5-x（0≤x≤5）．

（3）①如圖3，作CE⊥OT于點(diǎn)E，CF⊥x軸于點(diǎn)F，延長(zhǎng)FC交OT于點(diǎn)H，則CF=1，

∵直線OT對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=x（x≥0），

∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為H（4，），

∴CH=1=，OH=

∵CE⊥OT，

∴∠OHF+∠HCE=90°，

又∵∠OHF+∠HOF=90°，

∴∠HCE=∠HOF，

在△HEC和△HFO中，

∴△HEC∽△HFO，

∴，

即

∴EC=，

∴d（∠xOT，C）=+1=

②如圖4，作QG⊥OT于點(diǎn)G，QH⊥x軸于點(diǎn)H，交OT于點(diǎn)K，

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，n），其中3≤m≤5，

則n=-m2+2m+，

∴點(diǎn)K的坐標(biāo)為（m，m），QK=mn，

∴HK=m，OK=m．

∵Rt△QGK∽Rt△OHK，

∴，

∴QG=，

∴d（∠xOT，Q）=QG+QH

=+n

=m+n

=m+（-m2+2m+）

=-m2+m+1

=（m-4）2+

∵3≤m≤5，

∴當(dāng)m=4時(shí)，d（∠AOB，Q）取得最大值．

此時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4，）．