Question

如圖，直線y=-x+4和x軸，y軸的交點(diǎn)分別為B，C，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2，0）．
（1）則 點(diǎn)B的坐標(biāo)為

（4，0）

，點(diǎn)C的坐標(biāo)為

（0，4）

，BC的長(zhǎng)為

4

2

；
（2）動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿x軸向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的速度為每秒

2

個(gè)單位長(zhǎng)度．當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，它們都停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，△BMN的面積為S．
①是否存在S=2的情形？若存在，求出對(duì)應(yīng)的t值；若不存在，說明理由；
②當(dāng)MN=3時(shí)，求出t的值．

Answer 1

分析：（1）在一次函數(shù)中，令y=0即可求得與x軸的交點(diǎn)，令x=0，即可求得與y軸的交點(diǎn)縱坐標(biāo)，在直角△BOC中利用勾股定理即可求得BC的長(zhǎng)；
（2）①利用時(shí)間t表示出BM，BN的長(zhǎng)度，根據(jù)三角形的面積公式即可得到一個(gè)關(guān)于t的方程求得t的值；
②在△BMN中，利用余弦定理，即可得到一個(gè)關(guān)于t的方程，從而求得t的值．

解答：解：（1）在y=-x+4中，令y=0，則-x+4=0，解得：x=4，則B的坐標(biāo)是（4，0）；
令x=0，則y=4，則C的坐標(biāo)是：（0，4）；
則OC=4，OB=4，BC=

OB2+OC2

=4

2

；

（2）①∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2，0），B的坐標(biāo)是（4，0）．
∴AB=6，
∴點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，則BM=6-t，
∵OC=4，OB=4，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠NBM=45°，
又∵BN=

2

t，
∴S=

1

2

BM•BN•sin∠NBM=（6-t）×

2

t×

2

2

=-

1

2

t²+3t．
當(dāng)S=2時(shí)，即-t²+6t=4，解得：t=3±

5

，t=3+

5

（不合題意）．
故當(dāng)t=3-

5

時(shí)S=2．

②在△BNM中，利用余弦定理可得：BM²+BN²-2BM•BN=2BM•BN•cos∠NBM，
即：（8-t）²+（

2

t）²-9=2（8-t）•

2

t•cos45°，
即5t²-32t+55=0，
∵△=32²-4×5×55=-76＜0，
∴方程無(wú)解．
故t的值不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，以及余弦定理，利用定理把求解的問題轉(zhuǎn)化成方程問題，利用了方程思想．