Question

在△ABC中，AB=AC=1，BC邊上有2006個不同的點P₁，P₂，…P₂₀₀₆，記m_i=AP_i²+BP_i•P_iC（i=1，2，…2006），則m₁+m₂+…m₂₀₀₆=________．

Answer 1

2006
分析：過A作AD垂直BC于D，利用勾股定理，求出BP×PC的表達式，用勾股定理分別表示出AB²、AP²，AB²=AD²+BD²，AP²=PD²+AD²，則可以求出AB²=AP²-PD²+BD²．從而可求出BP×PC的表達式．
解答：由分析得：AB²=AD²+BD²，AP²=PD²+AD²；則AD²=AP²-PD²；
AB²=AP²-PD²+BD²=AP²+（BD+PD）（BD-PD）=AP²+PC×BP；
所以不論P在哪個位置都有AB²=AP_i²+P_iC×BP_i；
由于AB=1，m₁+m₂+…m₂₀₀₆=2006×1=2006，
故題中應(yīng)填2006．
點評：本題解題關(guān)鍵是找出BP×PC的表達式，主要用到的有勾股定理．根據(jù)勾股定理得到的幾個表達式進行變形就可以得到BP×PC的表達式．