Question

在△ABC中，AB=AC=2，BC=

5

-1，∠A=36°，BD平分∠ABC，交于AC于D．試說明點D是線段AC的黃金分割點．

Answer 1

分析：根據(jù)等腰三角形的兩底角相等以及角平分線的定義求出∠DBC=36°，從而證明△BDC與△ABC相似，根據(jù)相似三角形對應邊成比例列出比例式，代入數(shù)據(jù)計算出AD的值，根據(jù)數(shù)據(jù)即可判定點D是線段AC的黃金分割點．

解答：證明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=

1

2

（180°-36°）=72°，
∵BD平分∠ABC，交于AC于D，
∴∠DBC=

1

2

×∠ABC=

1

2

×72°=36°，
∴∠A=∠DBC，
又∵∠C=∠C，
∴△BCD∽△ABC，
∴

BC

AB

=

CD

BC

∵AB=AC，
∴

BC

AC

=

CD

BC

，
∵AB=AC=2，BC=

5

-1，
∴（

5

-1）²=2×（2-AD），
解得AD=

5

-1，
AD：AC=（

5

-1）：2．
∴點D是線段AC的黃金分割點．

點評：本題考查了學生黃金分割點的證明，把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，它們的比值（

5 -1

2

）叫做黃金比．