Question

如圖，在直角坐標系xoy中，O是坐標原點，點A在x正半軸上，OA＝cm，點B在y軸的正半軸上，OB＝12 cm，動點P從點O開始沿OA以cm/s的速度向點A移動，動點Q從點A開始沿AB以4 cm/s的速度向點B移動，動點R從點B開始沿BO以2 cm/s的速度向點O移動．如果P、Q、R分別從O、A、B同時移動，移動時間為t(0＜t＜6)s．

(1)求∠OAB的度數．

(2)以OB為直徑的⊙與AB交于點M，當t為何值時，PM與⊙相切？

(3)寫出△PQR的面積S隨動點移動時間t的函數關系式，并求s的最小值及相應的t值．

(4)是否存在△APQ為等腰三角形，若存在，求出相應的t值，若不存在請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)在Rt△AOB中： 　　tan∠OAB＝ 　　∴∠OAB＝30° 　　(2)如圖，連接P，M．當PM與⊙相切時，有∠PM＝∠PO＝90°， 　　△PM≌△PO 　　由(1)知∠OBA＝60° 　　∵M＝B 　　∴△BM是等邊三角形 　　∴∠BM＝60° 　　可得∠OP＝∠MP＝60° 　　∴OP＝O·tan∠OP 　�。�6×tan60°＝ 　　又∵OP＝t 　　∴t＝，t＝3 　　即：t＝3時，PM與⊙相切． 　　(3)如圖，過點Q作QE⊥x于點E 　　∵∠BAO＝30°，AQ＝4t 　　∴QE＝AQ＝2t 　　AE＝AQ·cos∠OAB＝4t× 　　∴OE＝OA－AE＝－t 　　∴Q點的坐標為(－t，2t) 　　S△PQR＝S△OAB－S△OPR－S△APQ－S△BRQ 　　＝ 　�。� 　　＝() 　　當t＝3時，S△PQR最小＝ 　　(4)分三種情況：如圖． 　�、佼擜P＝AQ1＝4t時， 　　∵OP＋AP＝ 　　∴t＋4t＝ 　　∴t＝ 　　或化簡為t＝－18 　�、诋擯Q2＝AQ2＝4t時 　　過Q2點作Q2D⊥x軸于點D， 　　∴PA＝2AD＝2AQ2·cosA＝t 　　即t＋t＝ 　　∴t＝2 　�、郛擯A＝PQ3時，過點P作PH⊥AB于點H 　　AH＝PA·cos30°＝(－t)·＝18－3t 　　AQ3＝2AH＝36－6t 　　得36－6t＝4t， 　　∴t＝3.6 　　綜上所述，當t＝2，t＝3.6，t＝－18時，△APQ是等腰三角形