Question

如圖，直線y=-3x-3分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，△AOB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△DOC，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)．
（1）填空：A（______，______）、B（______，______）、C（______，______）；
（2）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（3）E為拋物線的頂點(diǎn)，在線段DE上是否存在點(diǎn)P，使得以C、D、P為頂點(diǎn)的三角形與△DOC相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）直線y=-3x-3中，
x=0，則y=-3；y=0，則x=-1；
∴A（-1，0），B（0，-3）；
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：OC=OB=3，即C（3，0）；
∴A（-1，0），B（0，-3），C（3，0）；

（2）∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過B點(diǎn)，∴c=-3；
又∵拋物線經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，
∴，解得；
∴y=x²-2x-3；

（3）過點(diǎn)E作EF⊥y軸垂足為點(diǎn)F；
由（2）得y=x²-2x-3=（x-1）²-4
∴E（1，-4）．
∵tan∠EDF=，tan∠DCO=；
∴∠EDF=∠DCO
∵∠DCO+∠ODC=90°，
∴∠EDF+∠ODC=90°；
∴∠EDC=90°，
∴∠EDC=∠DOC；
①當(dāng)=時(shí)，△ODC∽△DPC，
則=，
∴DP=
過點(diǎn)P作PG⊥y軸，垂足為點(diǎn)G；
∵tan∠EDF==，
∴設(shè)PG=x，則DG=3x
在Rt△DGP中，DG²+PG²=DP²．
∴9x²+x²=，
∴x₁=，x₂=-（不合題意，舍去）
又∵OG=DO+DG=1+1=2，
∴P（，-2）；
②當(dāng)=時(shí)，△ODC∽△DCP，則=，
∴DP=3；
∵DE==，
∴DP=3（不合題意，舍去）
綜上所述，存在點(diǎn)P，使得以C、D、P為頂點(diǎn)的三角形與△DOC相似，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（，-2）．
分析：（1）根據(jù)直線AB的解析式，可求出A、B的坐標(biāo)，由于△DOC是由△AOB旋轉(zhuǎn)而得，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：OC=OB，由此可得到OC的長，即可求得C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）將A、B、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數(shù)的值；
（3）易求得D、E的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出CD、DE的長；過E作EF⊥y軸于F，通過證△COD∽△DFE，可得到∠CDE=90°；那么△COD和△CDP中，∠COD、∠CDP都是直角，對(duì)應(yīng)相等，因此本題要分成兩種情況討論：
①OC：OD=CD：DP=3：1，此時(shí)CD=3DP，由此可求出DP的長；過P作PG⊥y軸于G，根據(jù)∠PDG的正切值結(jié)合勾股定理，即可求出DG、PG的長，由此可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②OC：OD=DP：CD=3：1，此時(shí)DP=3CD，解法同①；
綜合上述情況即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，需注意的是P點(diǎn)為線段DE上的點(diǎn)，因此DP≤DE，根據(jù)這個(gè)條件可將不合題意的解舍去．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、圖形的旋轉(zhuǎn)變化、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)；在相似三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角不明確的情況下，一定要分類討論，以免漏解．