Question

【題目】已知，拋物線與軸交于點與軸交于點，，且點的坐標為．

（1）求該拋物線的解析式．

（2）如圖1，若點是線段上的一動點，過點作，交于，連接，求面積的最大值．

（3）如圖2，若直線與線段交于點，與線段交于點，是否存在，，使得為直角三角形，若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）3；（3）存在，或

【解析】

（1）利用待定系數法求出未知系數即可；

（2）求出A，B坐標，設出點P坐標，利用相似三角形的性質表示的面積，通過討論最值，求出最大面積.

（3）用m分別表示出M，N坐標，分別討論O、M、N為直角三角形頂點時的情況，求出相應的m值.

解：（1）把點，分別代入中，

得，解得∴該函數解析式為

（2）令，即，解得，

∴，

設，則

∵

∴，

∴

∴，即

化簡得：

∴

∵

∴當時，的最大值為3

（3）由題可得：，

聯立，解得，∴

聯立，解得，∴

，，

①當時，即時

∴∴

又∵，∴

②當時，即時

∴，∴

③當時，即時

∴，無解

∴綜上所述：∴，∴