Question

已知一元二次方程ax²+bx+c=0的兩根之比為m：n（a≠0，mn≠0），求證：mnb²=（m+n）²ac．

Answer 1

考點：根與系數的關系

專題：證明題

分析：設x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根，根據根與系數的關系得x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，由于x₁：x₂=m：n，則x₁=

m

n

x₂，利用兩根之和可表示求出x₂=-

bn

a(m+n)

，x₁=-

bm

a(m+n)

，然后利用兩根之積得到-

bm

a(m+n)

•[-

bn

a(m+n)

]=

c

a

，再利用等式的性質即可得到結論．

解答：證明：設x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根，
根據題意，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，
∵x₁：x₂=m：n，
∴x₁=

m

n

x₂，
∴

m

n

x₂+x₂=-

b

a

，解得x₂=-

bn

a(m+n)

，
∴x₁=

m

n

•[-

bn

a(m+n)

]=-

bm

a(m+n)

，
∴-

bm

a(m+n)

•[-

bn

a(m+n)

]=

c

a

，
∴mnb²=（m+n）²ac．

點評：本題考查了根與系數的關系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．