Question

1．如圖，直線y=-$\frac{4}{3}$x+4與x軸交于A點，與y軸交于點B，動點P從A點出發(fā)，以每秒2個單位速度沿射線AO勻速運動，同時動點Q從B點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿射線BA方向向點A勻速運動，當(dāng)一個點停止運動，另一個點也隨之停止運動，連接PQ，設(shè)運動的時間為t（秒）．
（1）直接寫出A、B兩點的坐標(biāo)；
（2）請求出t為何值時，△APQ與△ABO相似？
（3）若點C為為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點，是否存在t值，使得以A、P、Q、C為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出C點坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）對于直線y=-$\frac{4}{3}$x+4分別令x=0，y=0即可解決問題．
（2）由△APQ與△ABO相似，得$\frac{AQ}{AB}$=$\frac{AP}{AO}$或$\frac{AQ}{AO}$=$\frac{AP}{AB}$列出方程即可解決問題．
（3）分三種情形列出方程求解①如圖1中，當(dāng)PQ=AP時，作QC∥PA，AC∥PQ，可得菱形APQC，連接PC交AQ于E．②如圖2中，當(dāng)QP=QA時，作PC∥AQ，AC∥PQ，可得菱形PQAC，連接CQ交PA于E．③如圖3中，當(dāng)AP=AQ，作OC∥AQ，QC∥OA，可得菱形APCQ．

解答 解：（1）對于直線y=-$\frac{4}{3}$x+4令x=0，得y=4，可得B（0，4），
令y=0，得x=3，可得A（3，0）．
∴A（3，0），B（0，4）．

（2）在Rt△AOB中，∵OA=3．OB=4，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵△APQ與△ABO相似，
∴$\frac{AQ}{AB}$=$\frac{AP}{AO}$或$\frac{AQ}{AO}$=$\frac{AP}{AB}$，
∴$\frac{5-t}{5}$=$\frac{t}{3}$或$\frac{5-t}{3}$=$\frac{t}{5}$，
解得t=$\frac{15}{8}$或$\frac{25}{8}$．

（3）①如圖1中，當(dāng)PQ=AP時，作QC∥PA，AC∥PQ，可得菱形APQC，連接PC交AQ于E．

∵四邊形APQC是菱形，
∴PC⊥AQ，AE=QE，
∵cos∠PAE=$\frac{AE}{PA}$=$\frac{OA}{AB}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}（5-t）}{2t}$=$\frac{3}{5}$，
∴t=$\frac{25}{17}$．
②如圖2中，當(dāng)QP=QA時，作PC∥AQ，AC∥PQ，可得菱形PQAC，連接CQ交PA于E．

∵四邊形PQAC是菱形，
∴PA⊥CQ，AE=PE，
∵cos∠EAQ=$\frac{AE}{AQ}$=$\frac{OA}{AB}$，
∴$\frac{t}{5-t}$=$\frac{3}{5}$，
∴t=$\frac{15}{8}$．
③如圖3中，當(dāng)AP=AQ，作OC∥AQ，QC∥OA，可得菱形APCQ．

∵AP=AQ，
∴2t=5-t，
∴t=$\frac{5}{3}$．
綜上所述，t=$\frac{25}{17}$s或$\frac{15}{8}$s或$\frac{5}{3}$s時，以A、P、Q、C為頂點的四邊形為菱形．

點評 本題考查了相似形的綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會分類討論的思想思考問題，學(xué)會把問題轉(zhuǎn)化為方程，屬于中考壓軸題．