Question

13．如圖，過原點的兩條拋物線y₁=mx²+nx，（m＜0，n＞0），y₂=-mx²+nx，（m＜0，n＞0），它們與x軸的另一個交點分別為D、C，頂點分別為B、A，若以點A、B、C、D為頂點的四邊形為矩形時，n的值為2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 首先證明△AOC，△BOD都是等邊三角形，再根據(jù)BD=OD，列出方程即可解決問題．

解答 解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴OC=OD=OA=OB，
又根據(jù)對稱性可知，AC=AO，BO=BD，
∴AC=AO=CO，OB=OD=BD，
∴△AOC，△BOD是等邊三角形，
∵D（-$\frac{n}{m}$，0），B（-$\frac{n}{2m}$，-$\frac{{n}^{2}}{4m}$），
∴（-$\frac{n}{m}$）²=（（-$\frac{n}{m}$+$\frac{n}{2m}$）²+（$\frac{{n}^{2}}{4m}$）²，
∵m＜0，n＞0，
∴解得n=2$\sqrt{3}$．
故答案為2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查拋物線與x軸的交點、矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、兩點之間的距離公式等知識，解題的關鍵是學會利用參數(shù)構建方程解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．