Question

10．已知一次函數y=kx-2k+3（k＜0）的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B．
（1）無論k（k＜0）為何值時，直線AB都經過一定點H，請寫出點H的坐標；
（2）如圖，當k=-1時，直線y=mx交直線AB于點P，若點C的坐標是（0，$\frac{13}{5}$），且滿足∠CPO=45°，求m的值；
（3）設原點O到直線AB的距離是d，求d的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據y=kx-2k+3=y=k（x-2）+3，可得當x=2時，y=3，所以無論k（k＜0）為何值時，直線AB都經過一定點（2，3），即點H的坐標是（2，3）．
（2）首先根據k=-1，可得y=kx-2k+3=-x+5，再聯(lián)立y=mx，求出點P的坐標是多少，進而求出PC所在直線的斜率的值是多少；然后根據∠CPO=45°，求出m的值是多少即可．
（3）首先根據點到直線的距離的求法，求出d的值是多少；然后根據k＜0，方程有負實數解，求出d的最小值是多少即可．

解答 解：（1）∵y=kx-2k+3=y=k（x-2）+3，
∴當x=2時，y=3，
∴點H的坐標是（2，3）．

（2）當k=-1時，
y=kx-2k+3=-x+5，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+5}\\{y=mx}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{m+1}}\\{y=\frac{5m}{m+1}}\end{array}\right.$，
即點P的坐標是（$\frac{5}{m+1}，\frac{5m}{m+1}$），
∴PC所在直線的斜率是：
$\frac{\frac{5m}{m+1}-\frac{13}{5}}{\frac{5}{m+1}-0}$=$\frac{12m-13}{25}$
∵∠CPO=45°，
∴tan45°=$\frac{m-\frac{12m-13}{25}}{1+m×\frac{12m-13}{25}}$
=$\frac{13m+13}{1{2m}^{2}-13m+25}$
=1
∴6m²-13m+6=0，
解得m=$\frac{2}{3}$或m=$\frac{3}{2}$．

（3）∵y=kx-2k+3，
∴d=$\frac{|3-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=\frac{3-2k}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∴d²（k²+1）=（3-2k）²，
∴（d²-4）k²+12k+d²-9=0，
∵k＜0，方程有負實數解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{12}^{2}-4{（d}^{2}-4）{（d}^{2}-9）≥0}\\{-\frac{12}{2{（d}^{2}-4）}＜0}\\{4bwwvob^{2}-9≥0}\end{array}\right.$
整理，可得
9≤d²≤13，
∴d的最小值是3．

點評 （1）此題主要考查了一次函數綜合題，考查了分析推理能力，考查了從已知函數圖象中獲取信息，并能利用獲取的信息解答相應的問題的能力．
（2）此題還考查了點的坐標的含義以及求法，以及兩條直線的夾角的性質的應用，要熟練掌握．
（3）此題還考查了點到直線的距離公式，要熟練掌握．