Question

一次函數(shù)y=ax+b的圖象分別與x軸、y軸交于點M、N，與反比例函數(shù)y=的圖象相交于點A，B．過點A分別作AC⊥x軸，AE⊥y軸，垂足分別為C，E；過點B分別作BF⊥x軸，BD⊥y軸，垂足分別為F，D，AC與BD交于點K，連結(jié)CD。

（1）若點A，B'在反比例函數(shù)y=的圖象的同一分支上，如圖①，試證明：①S_{四邊形AEDK}=S_{四邊形CFBK}②AN=BM；
（2）若點A，B分別在反比例函數(shù)y=的圖象的不同分支上，如圖②，則AN與BM還相等嗎？試證明你的結(jié)論。

Answer 1

解：（1）證明；①∵AC⊥x軸，AE⊥y軸，∴四邊形AEOC為矩形，
∵BF⊥x軸，BD⊥y軸，∴四邊形BDOF為矩形，
∵AC⊥x軸，BD⊥y軸，∴四邊形AEDK，DCCK，CFBK均為矩形，
∵OC=x₁，AC=y₁，x₁·y₁=k，∴S_矩形AEOC=OC·AC=x₁·y₁=k
∵OF=x₂，F(xiàn)B=y₂，x₂·y₂=k，∴S_矩形BDOF=OF·FB=x₂·y₂=k，
∴S_矩形AEOC=S_矩形BDOF，S_矩形AEDK=S_矩形AEOC-S_矩形CFBK=S_矩形BDOF=S_矩形DOCK，
S_矩形AEDK=S_矩形CFBK；
②由①知S_矩形AEDK=S_矩形CFBK，AK·DK=BK·CK，
∴=，∵∠AKB=∠CKD=90°，∴△AKB∽△CKD，∴∠CDK=∠ABK，∴AB∥CD，
∵AC∥y軸，∴四邊形ACDN是平行四邊形，∴AN=CD同理BM=CD，∴AN=BM；
（2）解：AN與BM仍然相等，∵S_矩形AEDK=S_矩形AEOC+S_矩形ODKC，
S_矩形BKCF=S_矩形BDOF+S_矩形ODKC，
又∵S_矩形AEOC=S_矩形BDOF=k，∴S_矩形AEDK=S_矩形BKCF，∴AK·DK=BK·CK，
∴CK/AK=DK/BK，∴∠K=∠K，∴△CDK∽△ABK，
∴∠CDK=∠ABK，∴AB∥CD，
∵AC∥y軸，∴四邊形ANDC是平行四邊形，∴AN=CD，同理BM=CD，∴AN=BM。