Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB邊上的一點，以BD為直徑作⊙O交AC于點E，連結(jié)DE并延長，與BC的延長線交于點F．且BD=BF．
（1）求證：AC與⊙O相切．
（2）若BC=6，AB=12，求⊙O的面積．

Answer 1

證明：（1）連接OE，

∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∵BD=BF，
∴∠ODE=∠F，
∴∠OED=∠F，
∴OE∥BF，
∴∠AEO=∠ACB=90°，
∴AC與⊙O相切；

（2）解：由（1）知∠AEO=∠ACB，又∠A=∠A，
∴△AOE∽△ABC，
∴，
設(shè)⊙O的半徑為r，則，
解得：r=4，
∴⊙O的面積π×4²=16π．
分析：（1）連接OE，求出∠ODE=∠F=∠DEO，推出OE∥BC，得出OE⊥AC，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）證△AEO∽△ACB，得出關(guān)于r的方程，求出r即可．
點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定，平行線的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理和計算能力，用了方程思想．