Question

18．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為AB邊上的中點，DE⊥AB，AD=2DE．
（1）求sinB的值；
（2）若CD=$\sqrt{5}$，求CE的值．

Answer 1

分析 （1）先證△ABC∽△AED得∠B=∠AED，設(shè)DE=x，則AD=2DE=2x、AE=$\sqrt{5}$x，從而得sinB=sin∠AED=$\frac{AD}{AE}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
（2）由D為Rt△ABC斜邊AB上的中點知AD=BD=CD=$\sqrt{5}$、AB=2$\sqrt{5}$，再求得AC=ABsinB=4、AE=$\frac{AD}{sin∠AED}$=$\frac{5}{2}$，從而由CE=AC-AE可得答案．

解答 解：（1）∵DE⊥AB，
∴∠ACB=∠ADE=90°，
∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△AED，
∴∠B=∠AED，
設(shè)DE=x，則AD=2DE=2x，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$x，
則sinB=sin∠AED=$\frac{AD}{AE}$=$\frac{2x}{\sqrt{5}x}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；

（2）∵D為Rt△ABC斜邊AB上的中點，
∴AD=BD=CD=$\sqrt{5}$，即AB=2$\sqrt{5}$，
則AC=ABsinB=2$\sqrt{5}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=4，AE=$\frac{AD}{sin∠AED}$=$\frac{\sqrt{5}}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{5}{2}$，
∴CE=AC-AE=4-$\frac{5}{2}$=$\frac{3}{2}$．

點評 本題主要考查解直角三角形，熟練掌握三角函數(shù)的定義和相似三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．