Question

已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)A（2，0），與y軸的交點(diǎn)為B（0，－1）．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的拋物線(xiàn)上找出一點(diǎn)C，使以BC為直徑的圓經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)A．并求出點(diǎn)C的坐標(biāo)以及此時(shí)圓的圓心P點(diǎn)的坐標(biāo)．

（3）在（2）的基礎(chǔ)上，設(shè)直線(xiàn)x=t（0<t<10）與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)N，當(dāng)t為何值時(shí)，△BCN的面積最大，并求出最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）(5, )（3）當(dāng)t=5時(shí)，有最大值，最大值是

【解析】解：（1）∵拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)是A（2，0），∴設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為。

由拋物線(xiàn)過(guò)B(0,－1) 得，∴。

∴拋物線(xiàn)的解析式為，即。

（2）設(shè)C的坐標(biāo)為(x，y)，

∵A在以BC為直徑的圓上，∴∠BAC=90⁰。

過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于D，連接AB、AC，

∵∠BAO＋∠DAC=90⁰, ∠DAC＋∠DCA=90⁰，

∴∠BAO =∠DCA。

∴△AOB∽△CDA。∴�！郞B·CD=OA·AD，即1·�！�。

∵點(diǎn)C在第四象限，∴。

由解得：。

∵點(diǎn)C在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的拋物線(xiàn)上，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為 (10,－16)。

∵P為圓心，∴P為BC中點(diǎn)。

取OD中點(diǎn)H，連PH，則PH為梯形OBCD的中位線(xiàn)。

∴PH=(OB+CD)=。

∵D(10，0)，∴H(5，0)。∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(5, )。  

（3）設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為，直線(xiàn)x=t（0<t<10）與直線(xiàn)BC交于點(diǎn)M，

∵，

∴。

設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為，

∵直線(xiàn)BC經(jīng)過(guò)B(0,－1)、C (10,－16)，

∴，解得：。

∴直線(xiàn)BC的解析式為。

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為.。

∴MN=，

∴。

∴當(dāng)t=5時(shí)，有最大值，最大值是。

（1）已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，可直接設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為頂點(diǎn)式進(jìn)行求解。

（2）設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（x,y）,由題意可知∠BAC=90⁰.過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，連接AB，AC，易證△AOB∽△CDA，根據(jù)對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例得出x，y的關(guān)系式，再根據(jù)點(diǎn)C在拋物線(xiàn)上，聯(lián)立兩個(gè)關(guān)系式組成方程組，求出x，y的值，再根據(jù)點(diǎn)C所在的象限確定點(diǎn)C的坐標(biāo)。P為BC的中點(diǎn)，取OD中點(diǎn)H，連PH，則PH為梯形OBCD的中位線(xiàn)，可得OH=OD=5，PH=(OB+CD)= ，從而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。

（3）根據(jù)得，所以求的最大值就是求MN的最大值，而M，N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，所以MN就等于點(diǎn)N的縱坐標(biāo)減去點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，從而形成關(guān)于MN長(zhǎng)的二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的最值求解。