Question

4．已知將一副三角板（直角三角板OAB和直角三角板OCD，∠AOB=90°，∠COD=30°）如圖1擺放，點(diǎn)O、A、C在一條直線上，將直角三角板OCD繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，變化擺放如圖位置
（1）如圖2，當(dāng)∠OAC為多少度時(shí)，OB恰好平分∠COD？
（2）如圖3，當(dāng)三角板OCD擺放在∠AOB內(nèi)部時(shí)，作射線OM平分∠AOC，射線ON平分∠BDO，如果三角形OCD在∠AOB內(nèi)繞點(diǎn)O任意轉(zhuǎn)動(dòng)，∠MON的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果不變，求其值；如果變化，說明理由
（3）如圖4，當(dāng)三角板OCD轉(zhuǎn)到∠AOB外部時(shí)，射線OM、ON仍然分別平分∠AOC、∠BOD，在旋轉(zhuǎn)過程中，（2）中的結(jié)論是否成立？如果結(jié)論成立，請(qǐng)說明理由；如果不成立，請(qǐng)寫出你的結(jié)論并根據(jù)圖4說明理由．

Answer 1

分析 （1）由圖可得角之間的關(guān)系：∠BOD=90°-∠COD，∠AOC=90°-$\frac{1}{2}$∠COD，據(jù)此解答；
（2））由圖可得角之間的關(guān)系：∠MON=$\frac{1}{2}$（∠AOB-∠COD）+∠COD，于是得到結(jié)論；
（3）由圖可得角之間的關(guān)系；∠MON=∠MOC+∠NOD-30°，于是得到結(jié)論．

解答 解：∵∠BAC+∠ABP+∠BPF+∠AFP=360°，且∠BPF+∠BAC=180°，
∴∠ABP+∠AFP=180°，
（1）∵OB平分∠COD，∠COD=30°，
∴∠BOC=$\frac{1}{2}$∠COD=15°，
∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=90°-15°=75°，

（2）∵∠AOB=90°，∠COD=30°，
∴∠AOC+∠BOD=90°-30°=60°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠MOC+∠NOD=$\frac{1}{2}$∠AOC+∠BOD）=30°，
∴∠MON=∠COD+∠MOC+∠NOD=30°+30°=60°，

（3）∵∠AOB=90°，∠COD=30°，
∴∠AOC+∠BOD=360°-90°+∠COD=300°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠MOC+∠NOD=$\frac{1}{2}$（∠AOC+∠BOD）=150°，
∴∠MON=∠MOC+∠NOD-∠COD=150°-30°=120°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了角的計(jì)算，難點(diǎn)是找出變化過程中的不變量，需要結(jié)合圖形來計(jì)算，對(duì)同學(xué)們的作圖、分析、計(jì)算能力有較高要求．在計(jì)算分析的過程中注意動(dòng)手操作，在旋轉(zhuǎn)的過程中得到不變的量．