Question

1．四邊形ABCD中，∠BAD的角平分線與邊BC交于點E，∠ADC的角平分線交直線AE于點O．
（1）若點O在四邊形ABCD的內(nèi)部，
①如圖1，若AD∥BC，∠B=40°，∠C=70°，則∠DOE=125°；
②如圖2，試探索∠B、∠C、∠DOE之間的數(shù)量關系，并將你的探索過程寫下來．
（2）如圖3，若點O在四邊形ABCD的外部，請你直接寫出∠B、∠C、∠DOE之間的數(shù)量關系．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可求∠BAE，∠CDO，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可求∠AEC，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°可求∠DOE的度數(shù)；
②根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和角平分線的定義可得∠DOE和∠BAD、∠ADC的關系，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°可求∠B、∠C、∠DOE之間的數(shù)量關系；
（2）g根據(jù)四邊形和三角形的內(nèi)角和得到∠BAD+∠ADC=360°-∠B-∠C，∠EAD+∠ADO=180°-∠DOE，根據(jù)角平分線的定義得到∠BAD=2∠EAD，∠ADC=2∠ADO，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）①∵AD∥BC，∠B=40°，∠C=70°，
∴∠BAD=140°，∠ADC=110°，
∵AE、DO分別平分∠BAD、∠CDA，
∴∠BAE=70°，∠ODC=55°，
∴∠AEC=110°，
∴∠DOE=360°-110°-70°-55°=125°；
故答案為：125；

②∠B+∠C+2∠DOE=360°，
理由：∵∠DOE=∠OAD+∠ADO，
∵AE、DO分別平分∠BAD、∠CDA，
∴2∠DOE=∠BAD+∠ADC，
∵∠B+∠C+∠BAD+∠ADC=360°，
∴∠B+∠C+2∠DOE=360°；

（2）∠B+∠C=2∠DOE，
理由：∵∠BAD+∠ADC=360°-∠B-∠C，∠EAD+∠ADO=180°-∠DOE，
∵AE、DO分別平分∠BAD、∠CDA，
∴∠BAD=2∠EAD，∠ADC=2∠ADO，
∴∠BAD+∠ADC=2（∠EAD+∠ADO），
∴360°-∠B-∠C=2（180°-∠DOE），
∴∠B+∠C=2∠DOE．

點評 此題考查了多邊形內(nèi)角與外角，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，關鍵是熟練掌握四邊形內(nèi)角和等于360°的知識點．