Question

（2013•懷集縣二模）如圖，AB是⊙O的弦，AB=4，過圓心O的直線垂直AB于點D，交⊙O于點C和點E，連接AC、BC、OB，cos∠ACB=

1

3

，延長OE到點F，使EF=2OE．
（1）求證：∠BOE=∠ACB；
（2）求⊙O的半徑；
（3）求證：BF是⊙O的切線．

Answer 1

分析：（1）如圖，連OA．根據圖示知CE是直徑，所以由垂徑定理得到AD=BD=2，弧AE=弧BE，則由圓周角定理易證得∠ACE=∠BCE，∠AOE=∠BOE，∠AOB=2∠ACB，故∠BOE=∠ACB；
（2）由（1）得到∠ACB=∠BOD．在Rt△BOD中，設OD=x，則OB=3x，所以根據勾股定理可以求得x的值，則易求即⊙O的半徑為

3 2

2

；
（3）根據已知條件易證得△OBF∽△ODB，則其對應角相等：∠OBF=∠ODB=90°．因為OB是半徑，所以BF是⊙O的切線．

解答：（1）解：如圖，連OA．
∵直徑CE⊥AB，
∴AD=BD=2，弧AE=弧BE，
∴∠ACE=∠BCE，∠AOE=∠BOE，
又∵∠AOB=2∠ACB，
∴∠BOE=∠ACB；

（2）解：cos∠ACB=

1

3

，
∴cos∠BOD=

1

3

，
在Rt△BOD中，設OD=x，則OB=3x，
∵OD²+BD²=OB²，
∴x²+2²=（3x）²，解得x=

2

2

，
∴OB=3x=

3 2

2

，
即⊙O的半徑為

3 2

2

；

（3）證明：∵FE=2OE，
∴OF=3OE=

9 2

2

，
∴

OB

OF

=

1

3

，
而

OD

OB

=

1

3

，
∴

OB

OF

=

OD

OB

．
而∠BOF=∠DOB，
∴△OBF∽△ODB，
∴∠OBF=∠ODB=90°，
∵OB是半徑，
∴BF是⊙O的切線．

點評：本題綜合考查了圓周角定理，切線的判定與性質，圓心角、弧、弦間的關系以及勾股定理．綜合性比較強，難度較大．