Question

【題目】如圖，直線AB和拋物線的交點是A（0，﹣3），B（5，9），已知拋物線的頂點D的橫坐標是2．

（1）求拋物線的解析式及頂點坐標；

（2）在x軸上是否存在一點C，與A，B組成等腰三角形？若存在，求出點C的坐標，若不在，請說明理由；

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為：y＝x2﹣x﹣3，頂點D的坐標為（2，﹣）；

（2）存在，C坐標為：（4，0）或（﹣4，0），（5+，0）或（5﹣2，0），（，0），

【解析】

（1）根據拋物線的頂點D的橫坐標為2，可設拋物線的解析式為，再將點A和B的坐標代入即可得；

（2）先求出AB的長，然后分哪兩條邊為等腰的腰，設點C的坐標為，根據兩腰相等，利用兩點之間距離公式建立等式，求解即可.

（1）拋物線的頂點D的橫坐標為2，可設拋物線的解析式為：

將代入得

解得：

則拋物線的解析式為：（或寫成一般形式）

由頂點式可得頂點D的坐標為；

（ 2）設點C坐標

因

則

①當時，則

解得：，即點C坐標為：或

②當時，則

解得：，即點C坐標為或

③當時，則

解得：，即點C坐標為

綜上，存在這樣的點C，點C的坐標為或或或或.