Question

4．如圖，已知在△ABC中，∠ABC=90°，點E是AC的中點，聯(lián)結BE，過點C作CD∥BE，且∠ADC=90°，在DC取點F，使DF=BE，分別聯(lián)結BD、EF．
（1）求證：DE=BE；
（2）求證：EF垂直平分BD．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)求出BE=DE，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出即可；
（2）證出DE=DF，得出∠DEF=∠DFE，證出∠BEF=∠DEF，即可得出結論．

解答 （1）證明：∵∠ABC=90°，∠ADC=90°，點E是AC的中點，
∴$BE=\frac{1}{2}AC$，$DE=\frac{1}{2}AC$．（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）
∴BE=DE．
（2）證明：∵CD∥BE，
∴∠BEF=∠DFE．
∵DF=BE，BE=DE，
∴DE=DF．
∴∠DEF=∠DFE．
∴∠BEF=∠DEF．
∴EF垂直平分BD．（等腰三角形三線合一）

點評 本題主要考查對直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)等知識點的理解和掌握，能求出BE=DE是解此題的關鍵．