Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E在邊AD上，G，F(xiàn)，H分別是BE，BC，CE的中點(diǎn)．
（1）如圖1，點(diǎn)E是邊AD上任意一點(diǎn)，請(qǐng)直接填寫(xiě)四邊形EGFH是什么樣的特殊四邊形：______．
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在什么位置時(shí)，四邊形EGFH是菱形？并加以證明．
（3）若（2）中的菱形EGFH是正方形，請(qǐng)?zhí)剿骶�(xiàn)段EF與線(xiàn)段BC的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）∵G，F(xiàn)，H分別是BE，BC，CE的中點(diǎn)，
∴GF∥EC，F(xiàn)H∥BE，
∴四邊形EGFH是平行四邊形；

（2）當(dāng)點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)時(shí)，四邊形EGFH是菱形．
證明：∵G，F(xiàn)，H分別是BE，BC，CE的中點(diǎn)，
∴GF∥EH，GF=EH，
∴四邊形EGFH是平行四邊形，
∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴AB=DC，∠A=∠D，
在△ABE和△DCE中，

AB=DC ∠A=∠D AE=DE

，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴BE=CE，
∵G，H分別是BE，CE的中點(diǎn)，
∴EG=EH，
∴四邊形EGFH是菱形；

（3）EF⊥BC，EF=

1

2

BC．
證明：∵四邊形EGFH是正方形，
∴EG=EH，∠BEC=90°，
∵G，H分別是BE，CE的中點(diǎn)，
∴EB=EC，
∵F是BC的中點(diǎn)，
∴EF⊥BC，EF=

1

2

BC．