Question

如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D的切線交BC于E，求證：DE=

1

2

BC．

Answer 1

分析：連接BD，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，得到直角三角形ABD和BCD，根據(jù)切線的判定定理知BC是圓的切線，結(jié)合切線長(zhǎng)定理得到BE=DE，再根據(jù)等邊對(duì)等角以及等角的余角相等證明DE=CE．

解答：證明：連接BD，
∵AB是直徑，∠ABC=90°，
∴BC是⊙O的切線，∠BDC=90°．
∵DE是⊙O的切線，
∴DE=BE（切線長(zhǎng)定理）．
∴∠EBD=∠EDB．
又∵∠DCE+∠EBD=∠CDE+∠EDB=90°，
∴∠DCE=∠CDE，
∴DE=CE，
∴DE=

1

2

BC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)以及切線長(zhǎng)定理、圓周角定理，解題的關(guān)鍵是連接BD構(gòu)造直角三角形．