Question

如圖，一個直角三角形的直角頂點P在正方形ABCD的對角線AC所在的直線上滑動，并使得一條直角邊始終經過B點．
（1）如圖1，當直角三角形的另一條直角邊和邊CD交于Q點，=______；
（2）如圖2，當另一條直角邊和邊CD的延長線相交于Q點時，=______；
（3）如圖3或圖4，當直角頂點P運動到AC或CA的延長線上時，請你在圖3或圖4中任選一種情形，求的值，并說明理由．

Answer 1

解：（1）1；

（2）1；

（3）如圖3，=1，
過點P作PN⊥AB，垂足N在AB的延長線上，PN交CQ于點M，
在正方形ABCD中，AB∥CD，
∴∠PMQ=∠N=∠CBN=90°，
∴CBNM是矩形，
∴CM=BN，
易證△CMP是等腰直角三角形，
∴PM=CM=BN，
又∠1=∠PBN=90°-∠BPN，
∴△PMQ≌△BNP，（ASA）
∴PQ=PB，
∴=1，
如圖4，=1，
過點P作PN⊥AB，垂足N在BA的延長線上，PN的延長線交CQ于點M，
在正方形ABCD中，AB∥CD，
∴∠PMC=∠PNB=∠CBN=90°，
∴CBNM是矩形，
∴CM=BN，
易證△CMP是等腰直角三角形，
∴PM=CM=BN，
又∠1=∠2=90°-∠BPN，
∴△BNP≌△PMQ（ASA），
∴PB=PQ，
∴=1．
分析：由圖1、2可知過點P作正方形對邊CD、AB的垂線垂足為M、N，可以證明△PMQ≌△BNP，從而得出=1；證明圖3、4可以仿照這種方法進行．
點評：解答本題要充分利用正方形的特殊性質．注意在正方形中的特殊三角形的應用，搞清楚正方形對角線上點的特點，正方形中的三角形的三邊關系，可有助于提高解題能力．