Question

如圖1、圖2分別是兩個相同正方形、正六邊形，其中一個正多邊形的頂點在另一個正多邊形外接圓圓心O處．

⑴求圖1中，重疊部分面積與陰影部分面積之比；

⑵求圖2中，重疊部分面積與陰影部分面積之比(直接出答案)；

⑶根據(jù)前面探索和圖3，你能否將本題推廣到一般的正n邊形情況，(n為大于2的偶數(shù))？若能，寫出推廣問題和結(jié)論；若不能，請說明理由．

        圖1                        圖2                           圖3

Answer 1

（1）方法一：

   連結(jié)OA，OB，過點O作OMAB，垂足為M

   點O是正方形ABCD外接圓圓心，

OA=OB，正方形ABCD，OM=AB，

，

又

≌

重疊部分面積=

重疊部分面積與陰影部分面積之比為1：3

方法二：

過正方形ABCD的外接圓圓心O分別作OMAB、ONBC，垂足分別為M、N

正方形ABCD，OM=ON=AB

≌

重疊部分面積

重疊部分面積與陰影部分面積之比為1：3

（2）1：2

（3）兩個相同的正n（n為大于2的偶數(shù)）邊形，其中一個正n邊形的頂點的另一個正n邊形的外接圓圓心O處，求兩個正n邊形重疊部分面積與陰影部分面積之比。答案為（n-2）:(n+2)