Question

8．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-3，2），B（0，-2），其對(duì)稱(chēng)軸為直線x=$\frac{5}{2}$，C（0，$\frac{1}{2}$）為y軸上一點(diǎn)，直線AC與拋物線交于另一點(diǎn)D．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）試在線段AD下方的拋物線上求一點(diǎn)E，使得△ADE的面積最大，并求出最大面積；
（3）在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)F，使得△ADF是直角三角形？如果存在，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；
（2）作EP∥y軸交AD于P，如圖1，先利用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$，再通過(guò)解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{6}{x}^{2}-\frac{5}{6}x-2}\\{y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}}\end{array}\right.$得D（5，-2），設(shè)E（x，$\frac{1}{6}$x²-$\frac{5}{6}$x-2）（-3＜x＜5），則P（x，-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$），所以PE=-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{1}{3}$x+$\frac{5}{2}$，根據(jù)三角形面積公式和S_△AED=S_△AEP+S_△DEP可得S_△AED=-$\frac{2}{3}$（x-1）²+$\frac{32}{3}$，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題求出△ADE的面積最大，且求出對(duì)應(yīng)的E點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）設(shè)F（$\frac{5}{2}$，t），根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得到AD²=（5+3）²+（-2-2）²=80，AF²=（$\frac{5}{2}$+3）²+（t-2）²，DF²=（5-$\frac{5}{2}$）²+（-t-2）²，然后根據(jù)勾股定理的逆定理分類(lèi)討論：當(dāng)AD²+AF²=DF²，△ADF是直角三角形，則80+（$\frac{5}{2}$+3）²+（t-2）²=（5-$\frac{5}{2}$）²+（-t-2）²；當(dāng)AD²+DF²=AF²，△ADF是直角三角形，則80+（5-$\frac{5}{2}$）²+（-t-2）²=（$\frac{5}{2}$+3）²+（t-2）²；當(dāng)DF²+AF²=AD²，△ADF是直角三角形，則（$\frac{5}{2}$+3）²+（t-2）²+（5-$\frac{5}{2}$）²+（-t-2）²，=80，再分別解關(guān)于t的方程確定t的值，從而得到F點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（1）根據(jù)題意得$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=2}\\{c=-2}\\{-\frac{2a}=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{6}}\\{b=-\frac{5}{6}}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
所以拋物線解析式為y=$\frac{1}{6}$x²-$\frac{5}{6}$x-2；
（2）作EP∥y軸交AD于P，如圖1，
設(shè)直線AD的解析式為y=mx+n，
把A（-3，2），C（0，$\frac{1}{2}$）分別代入得$\left\{\begin{array}{l}{-3m+n=2}\\{n=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{2}}\\{n=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
所以直線AD的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{6}{x}^{2}-\frac{5}{6}x-2}\\{y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=-2}\end{array}\right.$，則D（5，-2），
設(shè)E（x，$\frac{1}{6}$x²-$\frac{5}{6}$x-2）（-3＜x＜5），則P（x，-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$），
∴PE=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$-（$\frac{1}{6}$x²-$\frac{5}{6}$x-2）=-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{1}{3}$x+$\frac{5}{2}$，
∴S_△AED=S_△AEP+S_△DEP
=$\frac{1}{2}$•（5+3）•（-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{1}{3}$x+$\frac{5}{2}$）
=-$\frac{2}{3}$（x-1）²+$\frac{32}{3}$，
當(dāng)x=1時(shí)，△ADE的面積最大，最大面積為$\frac{32}{3}$，此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-$\frac{8}{3}$）；
（3）存在．
設(shè)F（$\frac{5}{2}$，t），如圖2，
∵A（-3，2），D（5，-2），
∴AD²=（5+3）²+（-2-2）²=80，AF²=（$\frac{5}{2}$+3）²+（t-2）²，DF²=（5-$\frac{5}{2}$）²+（-t-2）²，
當(dāng)AD²+AF²=DF²，△ADF是直角三角形，則80+（$\frac{5}{2}$+3）²+（t-2）²=（5-$\frac{5}{2}$）²+（-t-2）²，解得t=13，此時(shí)F點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，13）；
當(dāng)AD²+DF²=AF²，△ADF是直角三角形，則80+（5-$\frac{5}{2}$）²+（-t-2）²=（$\frac{5}{2}$+3）²+（t-2）²，解得t=-7，此時(shí)F點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，-7）；
當(dāng)DF²+AF²=AD²，△ADF是直角三角形，則（$\frac{5}{2}$+3）²+（t-2）²+（5-$\frac{5}{2}$）²+（-t-2）²，=80，解得t=±$\frac{\sqrt{71}}{2}$，此時(shí)F點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，$\frac{\sqrt{71}}{2}$）或（$\frac{5}{2}$，-$\frac{\sqrt{71}}{2}$），
綜上所述，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，13）或（$\frac{5}{2}$，-7）或（$\frac{5}{2}$，$\frac{\sqrt{71}}{2}$）或（$\frac{5}{2}$，-$\frac{\sqrt{71}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和勾股定理的逆定理；會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；會(huì)利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算線段的長(zhǎng)；注意分類(lèi)討論思想的應(yīng)用．