Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）圖象如圖所示，且與x軸交于A（-1，0）、B（x₁，0）兩點，2＜x₁＜3，給出下列結(jié)論：則正確的有

 

（填序號）
①abc＞0；②a-b+c=0；③a+c＜0；④2a+b＜0；⑤b²+4a＞4ac．

Answer 1

考點：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

專題：數(shù)形結(jié)合

分析：由拋物線開口方向得a＜0，由拋物線的對稱性得到0＜-

b

2a

＜1，則b＞0，由拋物線與y軸的交點在x軸下方得到c＞0，所以abc＜0，于是可對①進行判斷；
由于x=-1時，y=0，即a-b+c=0，則可②進行判斷；由于b=a+c，加上x=1時，y＞0，即a+b+c＞0，所以a+a+c+c＞0，于是可對③進行判斷；根據(jù)對稱軸的位置得到0＜-

b

2a

＜1，利用a＜0變形得到-b＞2a，則可對④進行判斷；由于拋物線的頂點的縱坐標大于1，即

4ac-b2

4a

＞1，利用a＜0可變形得到4ac-b²＜4a，則可對⑤進行判斷．

解答：解：∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∵拋物線與x軸交于A（-1，0）、B（x₁，0）兩點，2＜x₁＜3，
∴拋物線的對稱軸在y軸與直線x=1之間，即0＜-

b

2a

＜1，
∴b＞0，
∵拋物線與y軸的交點在x軸下方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①錯誤；
∵x=-1時，y=0，
∴a-b+c=0，所以②正確；
∴b=a+c，
∵x=1時，y＞0，
∴a+b+c＞0，
∴a+a+c+c＞0，即a+c＞0，所以③錯誤；
∵0＜-

b

2a

＜1，a＜0，
∴-b＞2a，即2a+b＜0，所以④正確；
∵拋物線的頂點的縱坐標大于1，
∴

4ac-b2

4a

＞1，
而a＜0，
∴4ac-b²＜4a
∴b²+4a＞4ac，所以⑤正確．
故答案為②④⑤．

點評：本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大�。寒攁＞0時，拋物線向上開口，當a＜0時，拋物線向下；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右．（簡稱：左同右異）；常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點． 拋物線與y軸交于（0，c）；△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．