Question

如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象與y軸交于點(diǎn)A（0，4），與x軸負(fù)半軸交于B，與正半軸交于點(diǎn)C（8，0），且∠BAC=90°．
（1）求該二次函數(shù)解析式；
（2）若N是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，作NE∥AC，交AB于點(diǎn)E，連結(jié)AN，當(dāng)△ANE面積最大時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)P為x軸上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA、PC，設(shè)所得△PAC的面積為S．問(wèn)：是否存在一個(gè)S的值，使得相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有2個(gè)？若有，求出這個(gè)S的值，并求此時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由射影定理可得出B點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；
（2）利用NE∥AC，則△BNE∽△BAC，得出

S△BEN

S△BAC

=（

BN

BC

）²，由S_△ANE=S_△BAN-S_△ANE，進(jìn)而利用二次函數(shù)最值求法得出即可；
（3）過(guò)P作x軸的垂線，交AC于Q，交x軸于H；設(shè)出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)（設(shè)為m），根據(jù)拋物線和直線AC的解析式，即可表示出P、Q的縱坐標(biāo)，從而可得到PQ的長(zhǎng)，然后分兩種情況進(jìn)行討論：
①P點(diǎn)在第一象限時(shí)，即0＜m＜8時(shí)，可根據(jù)PQ的長(zhǎng)以及A、C的坐標(biāo)，分別表示出△APQ、△CPQ的面積，它們的面積和即為△APC的面積，由此可得到S的表達(dá)式，通過(guò)配方即可得到S的取值范圍；
②當(dāng)P在第二象限時(shí)，即-2＜m＜0時(shí)，同①可求得△APQ、△CPQ的面積，此時(shí)它們的面積差為△APC的面積，同理可求得S的取值范圍；根據(jù)兩個(gè)S的取值范圍，即可判斷出所求的結(jié)論．

解答：解：（1）∵∠BAC=90°，∠AOC=90°，
∴由射影定理可得出：OA²=OB•OC，
由題意知：OA=4，OC=8，
∴4²=OB•8，
∴OB=2，
∴B（-2，0），
將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入即得：

c=4 4a-2b+c=0 64a+8b+c=0

，
解得：

a=- 1 4 b= 3 2 c=4

，
∴拋物線解析式為：y=-

1

4

x²+

3

2

x+4；

（2）設(shè)N（n，0），則BN=n+2，BA=10，
∵NE∥AC，
∴△BNE∽△BAC，
∴

S△BEN

S△BAC

=（

BN

BC

）²，
∵S_△BAC=

1

2

×10×4=20，
∴

S△BEN

20

=（

n+2

10

）²，
S_△BEN=

1

5

（n+2）²，
∵S_△BAN=

1

2

×（n+2）×4=2n+4，
∴S_△ANE=（2n+4）-

1

5

（n+2）²=-

1

5

（n-3）²+5，
∵a=-

1

5

，
∴當(dāng)n=3時(shí)，最大值S_△ANE=5，
此時(shí)N的坐標(biāo)為：（3，0）；

（3）設(shè)直線AC對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為：y=kx+b，
則

b=4 8k+b=0

，
解得：

k=- 1 2 b=4

，
∴直線AC對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為：y=-

1

2

x+4，
如圖，過(guò)P作PH⊥OC，垂足為H，交直線AC于點(diǎn)Q；
設(shè)P（m，-

1

4

m²+

3

2

m+4），則Q（m，-

1

2

m+4）．
①當(dāng)0＜m＜8時(shí)，
PQ=（-

1

4

m²+

3

2

m+4）-（-

1

2

m+4）=-

1

4

m²+2m，
S=S_△APQ+S_△CPQ=

1

2

×8×（-

1

4

m²+2m）=-（m-4）²+16，
∴0＜S≤16；
②當(dāng)-2＜m＜0時(shí)，
PQ=（-

1

2

m+4）-（-

1

4

m²+

3

2

m+4）=

1

4

m²-2m，
S=S_△CPQ-S_△APQ=

1

2

×8×（

1

4

m²-2m）=（m-4）²-16，
∴0＜S＜20；
∴當(dāng)0＜S＜16時(shí)，0＜m＜8中有m兩個(gè)值，-2＜m＜0中m有一個(gè)值，此時(shí)有三個(gè)；
當(dāng)16＜S＜20時(shí)，-2＜m＜0中m只有一個(gè)值；
當(dāng)S=16時(shí)，m=4或m=4-4

2

這兩個(gè)．
故當(dāng)S=16時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有兩個(gè)．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、圖形面積的求法等知識(shí)，（3）題的解題過(guò)程并不復(fù)雜，關(guān)鍵在于理解題意．