Question

圓錐的底面半徑為10cm，高為10

5

cm
（1）求圓錐的全面積．
（2）若一只小蟲(chóng)從底面上一點(diǎn)A出發(fā)，沿圓錐側(cè)面繞行一周到母線SA上一點(diǎn)M處，且SM=3AM，求它所走的最短距離是多少．

Answer 1

考點(diǎn)：平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題,圓錐的計(jì)算

專題：

分析：（1）首先求得圓錐的母線長(zhǎng)，然后求得展開(kāi)扇形的弧長(zhǎng)，進(jìn)而求得其側(cè)面積和底面積，從而求得其全面積；
（2）將圓錐的側(cè)面展開(kāi)，求得其展開(kāi)扇形的圓心角的度數(shù)是90°，利用勾股定理求得AM的長(zhǎng)即為最短距離．

解答：解：（1）由題意，可得圓錐的母線SA=

AO2+SO2

=10

6

（cm）
圓錐的側(cè)面展開(kāi)扇形的弧長(zhǎng)l=2π•SA=20πcm
∴S_側(cè)=

1

2

L•SA=100

6

πcm²
S_圓=πAO²=100πcm²，
∴S_全=S_圓+S_底=（100

6

+100）π=100（

6

+1）π（cm²）；

（2）沿母線SA將圓錐的側(cè)面展開(kāi)，如右圖，則線段AM的長(zhǎng)就是螞蟻所走的最短距離
由（1）知，SA=10

6

cm，弧AA′=20πcm
∵

nπ×10 6

180

=20π，
∴∠S=n=60

6

°，
∵SA′=SA=40cm，SM=3A′M
∴SM=30cm，
∴在Rt△ASM中，由勾股定理得AM=50（cm）
所以，螞蟻所走的最短距離是50cm．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題，利用了勾股定理，弧長(zhǎng)公式，圓的周長(zhǎng)公式，等直角三角形的性質(zhì)求解．難度適中．