Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°．點D為△ABC內(nèi)一點，且DB=DC，∠DCB=30°，點E為BD延長線上一點，且AE=AB．

（1）求∠ADE的度數(shù)；
（2）若點M在DE上，且DM=DA，求證：ME=DC．

Answer 1

（1）如圖4．
∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，
∴∠ABC=∠ACB==75°．
∵DB=DC，∠DCB=30°，
∴∠DBC=∠DCB=30°．
∴∠1=∠ABC－∠DBC=75°－30°=45°．
∵AB=AC，DB=DC，
∴AD所在直線垂直平分BC．
∴AD平分∠BAC．
∴∠2=∠BAC==15°． ∴∠ADE=∠1＋∠2 =45°＋15°=60°．  
證明：（2）證法一：取BE的中點N，連接AN．（如圖5）
∵△ADM中，DM=DA，∠ADE=60°，
∴△ADM為等邊三角形． 
∵△ABE中，AB=AE，N為BE的中點，
∴BN=NE，且AN⊥BE．
∴DN=NM． 
∴BN－DN =NE－NM，
即 BD=ME．
∵DB=DC，
∴ME = DC．
證法二：如圖6．
∵△ADM中，DM=DA，∠ADE =60°，
∴△ADM為等邊三角形．
∴∠3=60°．
∵AE=AB，
∴∠E=∠1=45°．
∴∠4=∠3－∠E=60°－45°=15°．
∴∠2=∠4．
在△ABD和△AEM中，

∴△ABD≌△AEM．
∴BD =EM．
∵DB = DC，
∴ME = DC． 

解析