Question

【題目】如圖，在中，，，點D是BC邊上一動點，連接AD，把AD繞點A逆時針旋轉90°，得到AE，連接CE，DE．點F是DE的中點，連接CF．

（1）求證：；

（2）如圖2所示，在點D運動的過程中，當時，分別延長CF，BA，相交于點G，猜想AG與BC存在的數量關系，并證明你猜想的結論；

（3）在點D運動的過程中，在線段AD上存在一點P，使的值最小．當的值取得最小值時，AP的長為m，請直接用含m的式子表示CE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）先證△BAD≌△CAE，可得∠ABD＝∠ACE＝45°，可求∠BCE＝90°，由直角三角形的性質和等腰直角三角形的性質可得結論；

（2）由（1）得，，，推出，然后根據現有條件說明

在中，，點A，D，C，E四點共圓，F為圓心，則，在中，推出，即可得出答案；

（3）設點P存在，由費馬定理可得，設PD為，

得出，，得出，解出a，根據即可得出答案．

解：（1）證明如下：∵，

∴，

∵，，

∴在和中，

∴，

∴，

∴，

在中，F為DE中點（同時），，

∴，即為等腰直角三角形，

∴，

∵，

∴；

（2）由（1）得，，，

∴，

在中，，

∵F為DE中點，

∴，

在四邊形ADCE中，有，，

∴點A，D，C，E四點共圓，

∵F為DE中點，

∴F為圓心，則，

在中，

∵，

∴F為CG中點，即，

∴，

即；

（3）設點P存在，由費馬定理可得，

∴，

設PD為，

∴，

又，

∴，

又

∴．