Question

如圖，已知正方形ABCD，點P為射線BA上的一點（不和點A，B重合），過P作PE⊥CP，且CP=PE，過E作EF∥CD交射線BD于F點，EC交直線BD于G點．
（1）求證：EF=AB；
（2）請?zhí)骄緽F，DG和CD這三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）過點E作EM⊥AB，交BA的延長線于點M，連結(jié)AE，根據(jù)同角的余角相等求出∠BPC=∠MEP，然后利用“角角邊”證明△BPC和△MEP全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BP=ME，BC=MP，然后求出AM=BP，從而得到AM=ME，判斷出∠MAE=45°，從而得到∠MAE=∠ABD，然后根據(jù)同位角相等，兩直線平行求出AE∥BD，再根據(jù)平行四邊形的定義求出四邊形ABFE是平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的對邊相等證明即可；
（2）①分點P在線段AB上時，利用“角角邊”證明△EGF和△CGD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得FG=DG，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)解答即可；②點P在射線BA上時，同理可求．

解答：（1）證明：過點E作EM⊥AB，交BA的延長線于點M，連結(jié)AE，
∵PE⊥CP，
∴∠EPM+∠BPC=∠EPM，
∵EM⊥AB，
∴∠EPM+∠MEP=90°，
∴∠BPC=∠MEP，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，∠ABD=∠CBD=45°，AB∥CD，
∴∠ABC=∠M=90°，
在△BPC和△MEP中，

∠BPC=∠MEP ∠ABC=∠M=90° CP=PE

，
∴△BPC≌△MEP（AAS），
∴BP=ME，BC=MP，
∴AB=MP，
∴AM=BP，
∴AM=ME，
∵∠M=90°，
∴∠MAE=45°，
∴∠MAE=∠ABD，
∴AE∥BD，
∵EF∥CD，
∴AB∥EF，
∴四邊形ABFE是平行四邊形，
∴EF=AB；

（2）解：分兩種情況：①BF+2DG=

2

CD．
理由如下：如圖1，∵EF∥CD，
∴∠FEG=∠GCD，
在△EGF和△CGD中，

∠FEG=∠GCD ∠EGF=∠CGD EF=CD

，
∴△EGF≌△CGD（AAS），
∴FG=DG，
在Rt△BCD中，∠CBD=45°，
∴BD=

2

CD，
∴BF+2DG=

2

CD；
②如圖2，點P在射線BA上時，BF-2DG=

2

CD，與①同理可證．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，（1）作輔助線構(gòu)造出全等三角形和平行四邊形是解題的關(guān)鍵，（2）難點在于分情況討論．