Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，交AC于點E，BE與AD交于點F，連接DE．
求證：（1）△DCE是等腰三角形；（2）AB•FE=AF•BD．

Answer 1

證明：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C．
又∵∠1=∠ABC，
∴∠1=∠C．
∴△DEC是等腰三角形．

（2）在△ABD和△AFE中，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠2=∠3=90°．
∴AD⊥BC．
又AB=AC，
∴∠4=∠5．
又∠2=∠3=90°，
∴△ABD∽△AFE．
∴=．
∴AB•EF=AF•BD．
分析：（1）根據(jù)“圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角”這一性質(zhì)可得∠1=∠ABC，而AB=AC，即∠ABC=∠C，可得∠1=∠C，所以△DCE是等腰三角形．
（2）由結(jié)論AB•FE=AF•BD探求，即要證明=，由此，只需要證明△ABD∽△AFE，再尋找兩個三角形相似的條件即可．
點評：本題重點考查了圓內(nèi)接四邊形的外角性質(zhì)、同弧所對的圓周角相等、直徑所對的圓周角為直角的知識，本題是一道探究性的題目．