Question

在平面直角坐標系中，以點A（3，0）為圓心，5為半徑的圓與軸相交于點、（點B在點C的左邊），與軸相交于點D、M（點D在點M的下方）．
【小題1】（1）求以直線x=3為對稱軸，且經(jīng)過D、C兩點的拋物線的解析式；
【小題2】（2）若E為直線x=3上的任一點，則在拋物線上是否存在
這樣的點F，使得以點B、C、E、F為頂點的四邊形是平
行四邊形？若存在，求出點F的坐標；若不存在，說明理由． 

Answer 1

【小題1】解：（1）如圖，∵ 圓以點A（3,0）為圓心，5為半徑，
        ∴ 根據(jù)圓的對稱性可知 B（－2，0），C（8，0）．
連結(jié)．
在Rt△AOD中，∠AOD=90°，OA=3，AD=5，
∴ OD=4．
∴ 點D的坐標為（0,－4）．
設(shè)拋物線的解析式為，
又 ∵拋物線經(jīng)過點C（8，0），且對稱軸為，
∴       解得  
∴所求的拋物線的解析式為 ．---------------------------------2分
【小題2】（2）存在符合條件的點F，使得以點B、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形．
分兩種情況．
Ⅰ：當(dāng)BC為平行四邊形的一邊時，
必有 ∥，且EF =BC=10．
∴ 由拋物線的對稱性可知，
存在平行四邊形和平行四邊形．如（圖1）．
∵E點在拋物線的對稱軸上，∴設(shè)點E為（3，），且＞0．
則F₁（－7，t），F₂（13，t）．
將點F₁、F₂分別代入拋物線的解析式，解得 ．
∴點的坐標為或．
Ⅱ：當(dāng)BC為平行四邊形的對角線時，
必有AE=AF，如（圖2）．
∵ 點F在拋物線上，∴ 點F必為拋物線的頂點．
由，
知拋物線的頂點坐標是（，）．
∴此時點的坐標為．
∴ 在拋物線上存在點F，使得以點B、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形．
滿足條件的點F的坐標分別為：，，．
---------------------------------------------------- 8分

解析