Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a＜0）與雙曲線相交于點(diǎn)A，B，且拋物線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，2），點(diǎn)B在第四象限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)B作直線BC∥x軸，點(diǎn)C為直線BC與拋物線的另一交點(diǎn)，已知直線BC與x軸之間的距離是點(diǎn)B到y(tǒng)軸的距離的4倍，記拋物線頂點(diǎn)為E．

（1）求雙曲線和拋物線的解析式；

（2）計(jì)算△ABC與△ABE的面積；

（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)D，使△ABD的面積等于△ABE的面積的8倍？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1），（2）15， (3) D的坐標(biāo)為（3，﹣18）或（﹣4，﹣4）

【解析】解：（1）∵點(diǎn)A（﹣2，2）在雙曲線上，

∴k=﹣4。

∴雙曲線的解析式為。

∵BC與x軸之間的距離是點(diǎn)B到y(tǒng)軸距離的4倍，

∴設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（m，﹣4m）（m＞0）代入雙曲線解析式得m=1。

∴拋物線y=ax²+bx+c（a＜0）過(guò)點(diǎn)A（﹣2，2）、B（1，﹣4）、O（0，0）。

∴，解得：。

∴拋物線的解析式為。

（2）∵拋物線的解析式為，

∴頂點(diǎn)E（），對(duì)稱軸為x=。

∵B（1，﹣4），∴﹣x²﹣3x=﹣4，解得：x₁=1，x₂=﹣4。

∴C（﹣4，﹣4）。

∴S_△ABC=×5×6=15，

由A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，2），（1，﹣4）可求得直線AB的解析式為：y=﹣2x﹣2。

設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與AB交于點(diǎn)F，則F點(diǎn)的坐標(biāo)為（，1）。

∴EF=�！郤_△ABE=S_△AEF+S_△BEF=××3=。

（3）S_△ABE=，∴8S_△ABE=15。

∴當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，顯然滿足條件，

當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C不重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線CD，

其直線解析式為y=﹣2x﹣12。

令﹣2x﹣12=﹣x²﹣3x，解得x₁=3，x₂=﹣4（舍去）。

當(dāng)x=3時(shí)，y=﹣18，故存在另一點(diǎn)D（3，﹣18）滿足條件。

綜上所述，可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，﹣18）或（﹣4，﹣4）。

（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入雙曲線方程即可得出k的值，設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（m，﹣4m）（m＞0），根據(jù)雙曲線方程可得出m的值，然后分別得出了A、B、O的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)解析式即可。

（2）根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)，結(jié)合拋物線方程可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，從而可得出△ABC的面積。先求出AB的解析式，然后求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，及EF的長(zhǎng)，從而根據(jù)S_△ABE=S_△AEF+S_△BEF可得△ABE的面積。

（3）先確定符合題意的△ABD的面積，從而可得出當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，滿足條件；當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C不重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線CD，則可求出其解析式，求出其與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)即可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)。