Question

9．已知關(guān)于x的一元二次方程x²-6x+k=0．
（1）當(dāng)它有兩個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，求k的范圍；
（2）當(dāng)k=-11時(shí)，假設(shè)方程兩根是x₁，x₂，求x₁²+x₂²+8的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程x²-6x+k=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，可得△≥0，從而可以得到k的范圍；
（2）根據(jù)k=-11，方程兩根是x₁，x₂，可以得到兩根之和與兩根之積，從而可以得到x₁²+x₂²+8的值．

解答 解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x²-6x+k=0，
∴當(dāng)它有兩個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，△=（-6）²-4×1×k≥0，
解得，k≤9，
即k的取值范圍是k≤9；
（2）∵k=-11，
∴x²-6x-11=0，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{-6}{1}=6，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{-11}{1}=-11$，
∴x₁²+x₂²+8=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}+8$=6²-2×（-11）+8=66，
即x₁²+x₂²+8的值是66．

點(diǎn)評(píng) 本題考查根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是明確根的判別式△的取值不同，根的情況也不同和根與系數(shù)的關(guān)系，巧妙變化得到所求問(wèn)題需要的條件．