Question

如圖，在⊙O中，C、D是直徑AB上兩點，且AC=BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N在⊙O上．
（1）求證：

AM

=

BN

；
（2）若C、D分別為OA、OB中點，則

AM

=

MN

=

NB

成立嗎？

Answer 1

考點：圓心角、弧、弦的關(guān)系,全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）連結(jié)OM、ON，如圖，由AC=BD易得OC=OD，則根據(jù)“HL”證明Rt△OCM≌Rt△ODN，得到∠AOM=∠BON，于是根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得到

AM

=

BN

；
（2）由于C、D分別為OA、OB中點，則可得到OC=

1

2

OM，OD=

1

2

ON，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到∠OMC=30°，∠OND=30°，則∠MOC=∠NOD=60°，所以∠AOM=∠MON=∠BON，則利用圓心角、弧、弦的關(guān)系可得

AM

=

MN

=

NB

．

解答：（1）證明：連結(jié)OM、ON，如圖，
∵AC=BD，
∴OA-AC=OB-BD，即OC=OD，
∵MC⊥AB，ND⊥AB，
∴∠OCM=90°，∠ODN=90°，
在Rt△OCM和Rt△ODN中，

OC=OD OM=ON

，
∴Rt△OCM≌Rt△ODN（HL），
∴∠AOM=∠BON，
∴

AM

=

BN

；
（2）解：

AM

=

MN

=

NB

．理由如下：
∵C、D分別為OA、OB中點，
∴OC=

1

2

OA，OD=

1

2

OB，
∴OC=

1

2

OM，OD=

1

2

ON，
∴∠OMC=30°，∠OND=30°，
∴∠MOC=∠NOD=60°，
∴∠MON=60°，
∴∠AOM=∠MON=∠BON，
∴

AM

=

MN

=

NB

．

點評：本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．