Question

如圖，直線y=-x+6與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，以線段AB為直徑作⊙C，拋物線y=ax²+bx+c過A、C、O三點(diǎn)。

（1） 求點(diǎn)C的坐標(biāo)和拋物線的解析式；
（2）過點(diǎn)B作直線與x軸交于點(diǎn)D，且OB²=OA·OD，求證：DB是⊙C的切線；
（3）拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使以P、O、C、A為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形，如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

解：（1）A（6，0），B（0，6）
連結(jié)OC，
由于∠AOB=90°，C為AB的中點(diǎn)，則
所以點(diǎn)O在⊙C上
過C點(diǎn)作CE⊥OA，垂足為E，則E為OA中點(diǎn)，故點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為3
又點(diǎn)C在直線y=-x+6上，故C（3，3）
拋物線過點(diǎn)O，所以c=0
又拋物線過點(diǎn)A、C，
所以
解得：
所以拋物線解析式為：。
（2）OA=OB=6代入OB²=OA·OD，得OD=6
所以O(shè)D=OB=OA，∠DBA=90°
又點(diǎn)B在圓上，故DB為⊙C的切線。
（3）假設(shè)存在點(diǎn)P滿足題意
因C為AB中點(diǎn)，O在圓上，故∠OCA=90°，
要使以P、O、C、A為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形，
則∠CAP=90°或∠COP=90°
若∠CAP=90°，則OC∥AP，
因OC的方程為y=x，設(shè)AP方程為y=x+b
又AP過點(diǎn)A（6，0），則b=-6，
方程y=x-6與聯(lián)立解得，
故點(diǎn)P₁坐標(biāo)為（-3，-9）
若∠COP=90°，則OP∥AC，同理可求得點(diǎn)P₂（9，-9）
故存在點(diǎn)P₁坐標(biāo)為（-3，-9）和P₂（9，-9）滿足題意。