Question

如圖，在菱形ABCD中，∠B=60°，點E、F分別是BC、DC上的動點，且BE=DF．某小組的同學觀察圖形得出五個結論：①AE=AF；②∠CEF=∠CFE；③△AEF≌△CEF；④當點E、F分別是邊BC、DC中點時，△AEF是等邊三角形；⑤當點E在邊BC上且點F在邊DC上，且滿足BE=DF時，△AEF的面積為定值．其中，真命題是________（寫出所有真命題的序號）．

Answer 1

①②
分析：根據(jù)菱形的性質可證明△ABE≌△ADF，則AE=AF；CE=CF，∠CEF=∠CFE，當點E，F(xiàn)分別為邊BC，DC的中點時，BE=AB，DF=AD，無法求出∠EAF的度數(shù)，再由△AEF的面積=菱形ABCD的面積-△ABE的面積-△ADF的面積-△CEF的面積，即可得出△AEF的面積是BE的二次函數(shù)，即可求出，△AEF的面積最大．
解答：解：∵點E、F分別從點B、D出發(fā)以同樣的速度沿邊BC、DC向點C運動，
∴BE=DF，
∵AB=AD，∠B=∠D，
∴△ABE≌△ADF，
∴AE=AF，①正確；
∴CE=CF，
∴∠CEF=∠CFE，②正確；③錯誤；
當點E，F(xiàn)分別為邊BC，DC的中點時，BE=AB，DF=AD，
無法得出∠EAF的度數(shù)，④錯誤；
∵△AEF的面積=菱形ABCD的面積-△ABE的面積-△ADF的面積-△CEF的面積，
=AB²-BE•AB××2-××（AB-BE）²，
=-BE²+AB²，
∴△AEF的面積是BE的二次函數(shù)，
∴當BE=0時，△AEF的面積最大，⑤錯誤．
故正確的序號有①②．
點評：本題考查了菱形的性質、全等三角形的判定和等邊三角形的判定，是中考壓軸題，難度較大．