Question

（2013•襄城區(qū)模擬）矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中位置如圖所示，A、c兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（6，0），C（0，3），直線(xiàn)y=-

3

4

x與BC邊相交于D點(diǎn)．
（1）若拋物線(xiàn)y=ax²-

9

4

x經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，試確定此拋物線(xiàn)的表達(dá)式；
（2）在（1）中的拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上取一點(diǎn)E，求出EA+ED的最小值；
（3）設(shè)（1）中的拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與直線(xiàn)OD交于點(diǎn)M，點(diǎn)P為對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，以P，O，M為頂點(diǎn)的三角形與△OCD相似，求符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由拋物線(xiàn)圖象經(jīng)過(guò)A點(diǎn)，將A坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)解析式求出a的值，即可確定出拋物線(xiàn)解析式；
（2）由拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)A與O關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，則OD與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)即為EA+ED取最小值時(shí)E的位置，此時(shí)EA+ED的最小值為OD的長(zhǎng)，由D的坐標(biāo)即可求出OD的長(zhǎng)；
（3）拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)符號(hào)題意，理由為：由BC與AO平行，利用兩直線(xiàn)平行內(nèi)錯(cuò)角相等的一對(duì)角相等，再由一對(duì)直角相等可得出三角形OP₁M與三角形OCD相似，求出此時(shí)P₁的坐標(biāo)；過(guò)O作OD的垂線(xiàn)，交拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P₂，此時(shí)由拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸與y軸平行，得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，再由一對(duì)直角相等得到三角形P₂MO與三角形DOC相似，由相似三角形對(duì)應(yīng)角相等得到一對(duì)角相等，再由一對(duì)直角相等，且OP₁=OC=3，利用AAS得到三角形P₁P₂O與三角形OCD全等，由全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到P₁P₂=CD=4，再由P2屬于第一象限，即可求出此時(shí)P₂的坐標(biāo)，綜上，得到滿(mǎn)足題意的P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線(xiàn)y=ax²-

9

4

x經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（6，0），
∴將x=6，y=0代入得：0=36a-

9

4

×6，即a=

3

8

，
則拋物線(xiàn)解析式為y=

3

8

x²-

9

4

x；

（2）直線(xiàn)y=-

3

4

x與BC邊相交于點(diǎn)D，
將y=-3代入得：x=4，即D（4，-3），
∵點(diǎn)O與點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，且點(diǎn)E在對(duì)稱(chēng)軸上，
∴EA=EO，
∴EA+ED=ED+EO，
則最小值為AD長(zhǎng)為OD=

42+32

=5，
則EA+ED的最小值為5；

（3）拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)P₁符合條件，
∵OA∥CB，∴∠P₁OM=∠CDO，
∵∠OP₁M=∠DCO=90°，
∴Rt△P₁OM∽R(shí)t△CDO，
∵拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=3，
∴P₁坐標(biāo)為（3，0），
過(guò)O作OD的垂線(xiàn)，交拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P₂，
∵對(duì)稱(chēng)軸平行于y軸，
∴∠P₂MO=∠DOC，
∵∠P₂OM=∠DCO=90°，
∴Rt△P₂MO∽R(shí)t△DOC，
∴P₂也符合條件，∠OP₂M=∠ODC，
∴P₁O=CO=3，∠P₂P₁O=∠DCO=90°，
∴Rt△P₂P₁O≌Rt△DCO，
∴P₁P₂=CD=4，
∵點(diǎn)P₂在第一象限，
∴點(diǎn)P₂的坐標(biāo)為（3，4），
∴符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，分別為P₁（3，0），P₂（3，4）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：平行線(xiàn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式，最后一問(wèn)注意P點(diǎn)坐標(biāo)要找全．